En utilisant la définition (limite du taux d’accroissement), étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) au point \(x_0\) :

1. \(f(x) = x^3 – 2x + 1\) en \(x_0 = -1\).
2. \(f(x) = \sqrt{x+2}\) en \(x_0 = 2\).
3. \(f(x) = \frac{2x-1}{x+3}\) en \(x_0 = 0\).
4. \(f(x) = |x^2 – 4|\) en \(x_0 = 2\). (Étudier les limites à droite et à gauche).

Calculer la fonction dérivée \(f’\) pour chacune des fonctions suivantes (en précisant le domaine de dérivabilité) :

1. \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + \sqrt{7}x – 4\)
2. \(f(x) = (x^2 + x + 1)(3x – 2)\)
3. \(f(x) = \frac{x^2 – 3x + 6}{x – 1}\)
4. \(f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}\)

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = (2x^2 – 5x + 1)^4\)
2. \(g(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5}\)
3. \(h(x) = \cos(3x – \frac{\pi}{4})\)
4. \(k(x) = \sin^3(x) \cdot \cos(2x)\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 – 3x + 1\).

1. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(x_0 = 0\).
2. Déterminer les points de la courbe \((C_f)\) où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
3. Existe-t-il des points de la courbe où la tangente est parallèle à la droite \((\Delta) : y = 9x + 2\) ? Si oui, donner leurs coordonnées.

Soit \(f\) la fonction définie par : \[ \begin{cases} f(x) = x^2 – x & \text{si } x \le 1 \\ f(x) = \sqrt{x-1} & \text{si } x > 1 \end{cases} \]

1. Étudier la continuité de \(f\) en 1.
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en 1.
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en 1. Interpréter graphiquement.
4. La fonction \(f\) est-elle dérivable en 1 ?

Soit \(g(x) = \frac{x^2+1}{x}\).

1. Déterminer \(D_g\) et calculer les limites aux bornes.
2. Calculer \(g'(x)\) et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations complet de \(g\).
4. En déduire que pour tout \(x > 0\), \(x + \frac{1}{x} \ge 2\).

Soit \(f(x) = x^4 – 6x^2 + 4x – 1\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f »(x)\).
2. Étudier le signe de \(f »(x)\) et en déduire la concavité de la courbe \((C_f)\).
3. Déterminer les points d’inflexion de la courbe.

1. Soit \(f\) une fonction continue sur \([0, 1]\) et dérivable sur \(]0, 1[\) telle que \(f(0) = f(1) = 0\).
   Montrer qu’il existe \(c \in ]0, 1[\) tel que \(f'(c) = 0\).
2. En utilisant l’Inégalité des Accroissements Finis (I.A.F), montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}^+\) : \[ \sin x \le x \]
3. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \[ \frac{1}{n+1} < \ln(n+1) - \ln(n) < \frac{1}{n} \]

1. Soit \(f(x) = \frac{1}{x}\). Calculer \(f'(x), f »(x), f^{(3)}(x)\).
2. Conjecturer une formule pour \(f^{(n)}(x)\) et la démontrer par récurrence.
3. Même question pour \(g(x) = \sin x\).

On veut fabriquer une boîte cylindrique (avec couvercle) de volume \(V = 1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3\). On cherche les dimensions (rayon \(R\) et hauteur \(h\)) qui permettent d’utiliser le minimum de métal (aire totale minimale).

1. Exprimer \(h\) en fonction de \(R\).
2. Montrer que l’aire totale de la boîte est \(S(R) = 2\pi R^2 + \frac{2000}{R}\).
3. Étudier les variations de la fonction \(S\) sur \(]0, +\infty[\).
4. En déduire la valeur de \(R\) (arrondie au mm) qui minimise la consommation de métal.