Objectif : Définition de base \(r(M) = M’ \iff OM = OM’ \text{ et } (\vec{OM}, \vec{OM’}) \equiv \theta\).

Soit \(O\) un point du plan.

1. Placer un point \(A\) tel que \(OA = 3\) cm.
2. Construire le point \(A’\) image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
3. Construire le point \(B\) image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).
4. Quelle est la nature du triangle \(OAA’\) ? Justifier.

Objectif : Milieu, Distance, Alignement.

Soit \(r\) une rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\alpha\).

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts, et \(I\) le milieu du segment \([AB]\).

On note \(A’ = r(A)\), \(B’ = r(B)\) et \(I’ = r(I)\).

1. Faire une figure avec \(\alpha = \frac{\pi}{4}\).
2. Montrer que \(A’B’ = AB\).
3. Montrer que \(I’\) est le milieu du segment \([A’B’]\).
4. Si \(C\) est un point tel que \(\vec{AC} = 2\vec{AB}\), quelle relation vectorielle lie \(A’, B’, C’\) ?

Objectif : Identifier les rotations dans une figure régulière.

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct de centre \(O\).

1. Déterminer l’angle de la rotation de centre \(O\) qui transforme \(A\) en \(B\).
2. Soit \(r\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
   Quelle est l’image de \(C\) par \(r\) ? Quelle est l’image de \(A\) par \(r\) ?
3. Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et \(J\) le milieu de \([AB]\).
   Montrer que la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{2\pi}{3}\) transforme \(J\) en \(I\).

Objectif : Manipuler des angles de \(\pi/2\).

Soit \(ABCD\) un carré direct de centre \(O\).

1. Déterminer l’image du triangle \(OAB\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
2. Soit \(M\) un point de \([AB]\). On note \(M’\) son image par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
   Montrer que \(M’\) appartient au segment \([BC]\) et que \(AM = BM’\).
3. Quelle est la nature du triangle \(OMM’\) ?

Objectif : Angle entre une droite et son image.

Soit \(r\) une rotation d’angle \(\theta\) (avec \(\theta \neq k\pi\)). Soit \((D)\) une droite.

1. Construire l’image \((D’)\) d’une droite \((D)\) par une rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
2. Quel est l’angle formé par les droites \((D)\) et \((D’)\) ?
3. Cas particulier : Si l’angle de rotation est \(\frac{\pi}{2}\), que peut-on dire de \((D)\) et \((D’)\) ?

Objectif : Conservation du rayon.

Soit \((\mathcal{C})\) un cercle de centre \(A\) et de rayon \(R = 3\). Soit \(O\) un point extérieur au cercle.

Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).

1. Construire le point \(A’ = r(A)\).
2. Déterminer et construire l’image \((\mathcal{C}’)\) du cercle \((\mathcal{C})\) par \(r\).
3. Les cercles \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}’)\) peuvent-ils être tangents ? Discuter selon la distance \(OA\).

Objectif : Utiliser la rotation pour trouver un ensemble de points.

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct.

On considère un point \(M\) variable sur le segment \([BC]\).

On construit le triangle équilatéral direct \(AME\).

1. Montrer que \(E\) est l’image de \(M\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
2. Quel est l’ensemble des points \(M\) ? (Le segment \([BC]\)).
3. En déduire l’ensemble des points \(E\) lorsque \(M\) parcourt \([BC]\). (Image d’un segment).

Objectif : Problème classique (Point de Fermat/Torricelli).

Sur les côtés d’un triangle \(ABC\), on construit extérieurement trois triangles équilatéraux \(ABD\), \(BCE\) et \(ACF\).

1. Considérer la rotation \(r\) de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
   Quelle est l’image de \(D\) ? Quelle est l’image de \(C\) ?
2. Montrer que \(DC = BF\).
3. Montrer que les droites \((DC)\) et \((BF)\) forment un angle de \(\frac{\pi}{3}\).
4. (Bonus) Montrer que les droites \((DC)\), \((BF)\) et \((AE)\) sont concourantes.

Objectif : Lien avec la géométrie analytique (sans nombres complexes).

Dans un repère orthonormé direct, on considère \(A(1 ; 0)\) et \(O(0 ; 0)\).

1. Déterminer les coordonnées de \(A’\), image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
2. Déterminer les coordonnées de \(A »\), image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
   (Utiliser \(\cos(\pi/3)\) et \(\sin(\pi/3)\)).

Objectif : Symétries de rotation.

Soit un hexagone régulier \(ABCDEF\) de centre \(O\).

1. Combien y a-t-il de rotations de centre \(O\) qui laissent l’hexagone globalement invariant ? Donner leurs angles.
2. Quelle est l’image du triangle \(OAB\) par la rotation d’angle \(\frac{2\pi}{3}\) ?
3. Montrer que \(\vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OE} = \vec{0}\).