Soit \(O\) un point du plan. On considère les points \(A\) et \(B\) tels que \(OA = OB = 4\) cm et \((\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]\).

1. Déterminer la rotation \(r\) qui transforme \(A\) en \(B\). Préciser son centre et son angle.
2. Quelle est la nature du triangle \(OAB\) ?
3. Soit \(C\) un point du plan. On construit \(C’\) tel que \(r(C) = C’\).
   Montrer que le triangle \(OCC’\) est équilatéral.

Soit \(r\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\alpha = \frac{\pi}{2}\).

Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A’, B’, C’\) les images respectives de \(A, B, C\) par \(r\).

1. Montrer que si \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\), alors son image \(G’ = r(G)\) est le centre de gravité du triangle \(A’B’C’\).
2. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\).
   Démontrer que \(\vec{I’J’} = \vec{r}(\vec{IJ})\) et que \(I’J’ = \frac{1}{2}AC\).

Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\) tel que \((\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\).

Soit \(M\) un point du segment \([AB]\) et \(N\) un point du segment \([BC]\) tels que \(AM = BN\).

1. Considérer la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
   Déterminer \(R(A)\) et \(R(B)\).
2. Montrer que \(R(M) = N\).
3. En déduire que le triangle \(OMN\) est rectangle isocèle en \(O\).
4. Démontrer que les droites \((AN)\) et \((DM)\) sont perpendiculaires.

Soit \(r\) une rotation d’angle \(\theta \in ]0, \pi[\). Soit \((D)\) une droite du plan.

1. Montrer que l’image de la droite \((D)\) par \(r\) est une droite \((D’)\).
2. Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{u’}\) les vecteurs directeurs respectifs de \((D)\) et \((D’)\).
   Démontrer que \((\vec{u}, \vec{u’}) \equiv \theta \ [2\pi]\).
3. Application : Si \(\theta = \frac{\pi}{2}\), que peut-on dire de \((D)\) et \((D’)\) ?

Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux segments de l’espace tels que \(AB = CD\) et les droites \((AB)\) et \((CD)\) ne sont pas parallèles.

1. Montrer qu’il existe une unique rotation \(r\) telle que \(r(A) = C\) et \(r(B) = D\).
2. Donner une construction géométrique du centre \(\Omega\) de cette rotation.
   (Indication : \(\Omega\) appartient aux médiatrices de [AC] et [BD]).

Soient \(r_1(O, \alpha)\) et \(r_2(O, \beta)\) deux rotations de même centre \(O\).

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(f = r_2 \circ r_1\).
2. Montrer que la composition de deux rotations de même centre est commutative.
3. Résoudre l’équation \(r(O, \theta) \circ r(O, \theta) = S_O\) (où \(S_O\) est la symétrie centrale de centre \(O\)).

Soit \((\mathcal{C})\) un cercle de centre \(A\) et de rayon \(R\). Soit \(O\) un point fixe n’appartenant pas à \((\mathcal{C})\).

Pour tout point \(M\) de \((\mathcal{C})\), on construit le point \(N\) tel que le triangle \(OMN\) soit équilatéral direct.

1. Montrer que \(N\) est l’image de \(M\) par une rotation \(r\) que l’on précisera.
2. Déterminer le lieu géométrique du point \(N\) lorsque \(M\) parcourt le cercle \((\mathcal{C})\).
3. Caractériser ce lieu (nature, centre, rayon).

Soient \(r_1(A, \frac{\pi}{2})\) et \(r_2(B, \frac{\pi}{2})\) deux rotations de centres distincts \(A\) et \(B\).

1. Quelle est la nature de la transformation \(g = r_2 \circ r_1\) ? Justifier.
2. Déterminer l’angle de cette transformation.
3. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Déterminer l’image de \(I\) par \(g\).

Sur les côtés d’un triangle quelconque \(ABC\), on construit extérieurement deux triangles équilatéraux \(ABD\) et \(ACE\).

1. Considérer la rotation \(r\) de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
   Quelles sont les images des points \(D\) et \(C\) ?
2. En déduire que \(CD = BE\).
3. Montrer que l’angle formé par les droites \((CD)\) et \((BE)\) est de \(\frac{\pi}{3}\).

Soit \(ABC\) un triangle. On construit à l’extérieur de ce triangle trois triangles équilatéraux \(ABC’\), \(BCA’\) et \(CAB’\).

Soient \(P, Q, R\) les centres respectifs de ces trois triangles.

1. En utilisant des rotations d’angle \(\frac{2\pi}{3}\) centrées en \(P, Q, R\), montrer que \(QR = PR = PQ\).
2. Conclure sur la nature du triangle \(PQR\).