Étudier la monotonie des suites $(u_n)_{n \in I}$ définies par :

1. $u_n = \frac{3^n}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
3. $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + n^2 + 1$.
4. $u_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[ \begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n} \end{cases} \]

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \le \frac{1}{2}$.
4. On pose $v_n = \frac{1}{u_n}$.
   a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
   b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que $u_1 = 5$ et $u_{10} = 32$.

1. Calculer la raison $r$.
2. Calculer le premier terme $u_0$.
3. Déterminer $n$ tel que la somme $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ soit égale à $715$.

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q > 0$ telle que $v_2 = 18$ et $v_5 = 486$.

1. Déterminer la raison $q$ et le premier terme $v_0$.
2. Calculer la somme $\Sigma = v_0 + v_1 + \dots + v_7$.
3. Soit $P_n = v_0 \times v_1 \times \dots \times v_n$. Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{4}u_n + 3$.

1. Déterminer le réel $\alpha$ tel que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n – \alpha$ soit géométrique.
2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
4. On pose $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = \cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

1. Calculer $u_1, u_2$ et $u_3$.
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $0 < u_n < 1$.
3. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Soit $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$.

1. Vérifier que $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}$.
2. En déduire une expression simplifiée de $S_n$ en fonction de $n$.
3. Montrer que la suite $(S_n)$ est croissante et majorée par 1.
4. Quelle est la limite de cette suite ?

On construit une suite de carrés de la manière suivante : le premier carré $C_0$ a un côté de $1$ cm. Chaque nouveau carré $C_{n+1}$ a un côté égal à la moitié du côté du carré $C_n$.

1. Soit $c_n$ la longueur du côté du carré $C_n$. Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ?
2. Soit $a_n$ l’aire du carré $C_n$. Montrer que $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $1/4$.
3. On pose $A_n = a_0 + a_1 + \dots + a_n$ la somme des aires des $n+1$ premiers carrés.
   Calculer $A_n$ en fonction de $n$.
4. Vers quelle valeur tend l’aire totale $A_n$ quand $n$ devient très grand ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{4u_n – 2}{u_n + 1}$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \neq 2$.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{u_n – 1}{u_n – 2}$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 2$.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Calculer la limite de $(u_n)$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = \sqrt{2}$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.

1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $0 < u_n < 2$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
3. En déduire que $(u_n)$ est convergente.
4. En utilisant la relation $u_n = 2\cos(\theta_n)$ (où $\theta_n \in [0, \pi/2]$), déterminer la valeur exacte de la limite.