Calculer les limites suivantes au voisinage de l’infini :

1. \(\lim_{x \to +\infty} \left( -2x^3 + 5x^2 – x + 1 \right)\)
2. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^4 – 2x + 1}{5x^4 + x^2 – 7}\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{(2x+1)^2(3-x)}{x^3+5}\)
4. \(\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{x^2+1}{x-1} – \frac{x^2-1}{x+1} \right)\)

Calculer les limites suivantes en un point fini :

1. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 5x + 6}{x^2 – 4}\)
2. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 3x + 2}{x^2 – 2x + 1}\)
3. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 – 1}\)
4. \(\lim_{x \to a} \frac{x^n – a^n}{x – a} \quad (n \in \mathbb{N}^*, a \in \mathbb{R})\)

Lever les indéterminations suivantes à l’aide du conjugué :

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x}\)
2. \(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6} – 3}{x – 3}\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} – x \right)\)
4. \(\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2} + x \right)\) (Attention au signe de \(x\))

En utilisant les limites usuelles en 0, calculer :

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{\tan(3x)}\)
2. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x \sin x}\)
3. \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) – \cos x}{x^2}\)
4. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x – \sin x}{x – \frac{\pi}{4}}\) (Indication : Changement de variable \(h = x – \frac{\pi}{4}\))

Soit la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{|x^2 – 1|}{x – 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\).
3. La fonction \(f\) admet-elle une limite en 1 ? Justifier.
4. Étudier la limite de \(g(x) = \frac{x+2}{x^2 – 4}\) à droite et à gauche de 2 et -2.

1. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x – \cos x}\).
2. Soit \(f\) une fonction telle que pour tout \(x > 0\) : \(\frac{2x-1}{x} < f(x) < \frac{2x+5}{x}\). Déterminer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
3. Calculer \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x})\).

On note \(E(x)\) la partie entière de \(x\). Calculer :

1. \(\lim_{x \to 0} x E(\frac{1}{x})\) (Utiliser l’encadrement \(y-1 < E(y) \le y\)).
2. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{E(3x)}{x}\)
3. \(\lim_{x \to 2^+} \frac{E(x) – 2}{x – 2}\) et \(\lim_{x \to 2^-} \frac{E(x) – 2}{x – 2}\).

1. Calculer \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} – 1}{x – 1}\) (Indication : Poser \(t = \sqrt[3]{x}\)).
2. Calculer \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – \sqrt[3]{x+1}}{x}\).
3. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3+x^2} – x \right)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(ax)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + a + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \]

1. Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que \(f\) soit continue en 0.

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Calculer la limite suivante :

(Indication : Écrire \(n = 1 + 1 + \dots + 1\) et regrouper les termes).