Objectif : Manipuler les quantificateurs.

Donner la valeur de vérité des propositions suivantes, puis écrire leur négation :

1. \(P_1 : \exists x \in \mathbb{R}, \quad x^2 – 2 = 0\)
2. \(P_2 : \forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 + 1 > 0\)
3. \(P_3 : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, \quad x < y\)
4. \(P_4 : \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, \quad y^2 > x\)

Objectif : Comprendre l’implication et l’équivalence.

Soient \(x\) et \(y\) deux réels.

1. Montrer que : \((x^2 + y^2 = 0) \iff (x = 0 \text{ et } y = 0)\).
2. Montrer que l’implication suivante est fausse : \((x^2 = y^2) \Rightarrow (x = y)\). (Donner un contre-exemple).
3. Écrire la contraposée de l’implication : \((x \neq 2) \Rightarrow (x^2 – 4 \neq 0)\). Est-elle vraie ?

Objectif : Prouver qu’une proposition universelle est fausse.

Montrer que les propositions suivantes sont fausses :

1. \(\forall x \in \mathbb{R}^*, \quad x + \frac{1}{x} \geq 2\)
2. \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad n^2 + n + 41\) est un nombre premier.
3. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\sqrt{x^2} = x\).

Objectif : Démontrer une implication difficile directement.

1. Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Montrer que : \[ x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1) \]
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.
3. Soient \(x, y > 0\). Montrer que : \[ y \neq \frac{1}{x} \Rightarrow x \neq \frac{1}{y} \]

Objectif : Prouver par contradiction.

1. Montrer que \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\).
2. Soit \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que si pour tout \(\varepsilon > 0\), \(|x| < \varepsilon\), alors \(x = 0\).
3. Montrer que l’équation \(x^2 – 2y^2 = 1\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(x\) et \(y\) soient tous les deux pairs.

Objectif : Séparer les situations.

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(|x – 3| + |x + 2| = 7\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n(n+1)(n+2)\) est un multiple de 3.
   (Indication : Étudier les cas \(n = 3k\), \(n = 3k+1\), \(n = 3k+2\)).

Objectif : Initialisation et Hérédité.

Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) :

• \(1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
• \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Objectif : Propriétés arithmétiques.

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(3^{2n} – 1\) est divisible par 8.
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(7^n – 1\) est un multiple de 6.

Objectif : Résoudre des inéquations complexes.

Soient \(x, y \in \mathbb{R}^+\). Montrer que :

(Indication : Raisonner par équivalences successives jusqu’à obtenir un carré parfait positif).

Objectif : Mélanger les méthodes.

On considère la fonction \(f\) définie de \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{N}\) telle que :

• \(f(0) = 1\)
• \(\forall n \in \mathbb{N}, f(n+1) = 2f(n) + 1\)

1. Calculer \(f(1)\), \(f(2)\) et \(f(3)\).
2. Conjecturer une formule pour \(f(n)\) en fonction de \(n\).
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.