Objectif : Manipuler la syntaxe logique.

Donner la négation des propositions suivantes, puis déterminer leur valeur de vérité :

1. \(P_1 : (\forall x \in \mathbb{R}), \quad x^2 > 0\)
2. \(P_2 : (\exists x \in \mathbb{R}), (\forall y \in \mathbb{R}), \quad x + y > 0\)
3. \(P_3 : (\forall n \in \mathbb{N}), \quad \sqrt{n} \in \mathbb{N} \Rightarrow n \in \mathbb{N}\)
4. \(P_4 : (\forall x \in \mathbb{R}), \quad x^2 + x + 1 > 0\)

Objectif : Démontrer des implications.

1. Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Montrer que : \[ x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1) \]
2. Soient \(x, y\) deux réels positifs. Montrer que : \[ x \neq y \Rightarrow \sqrt{x+1} + \sqrt{y} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y+1} \]
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair.

Objectif : Prouver par contradiction.

1. Montrer que \(\sqrt{3}\) est un nombre irrationnel.
2. Montrer que \(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \notin \mathbb{Q}\).
3. Soient \(a, b \in \mathbb{Q}\). Montrer que si \(a + b\sqrt{2} = 0\), alors \(a = 0\) et \(b = 0\).

Objectif : Traiter les valeurs absolues et parités.

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(|x^2 – 1| + |x| = 1\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le nombre \(n(n+1)(2n+1)\) est divisible par 6.
   (Étudier les restes de la division de \(n\) par 6 ou combiner parité et divisibilité par 3).

Objectif : Calcul de sommes classiques.

Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) :

1. \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\)
2. \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
3. \(\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

Objectif : Propriétés arithmétiques et ordre.

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(3^{2n} – 2^n\) est divisible par 7.
2. Inégalité de Bernoulli : Montrer que pour tout réel \(x > -1\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ (1+x)^n \ge 1 + nx \]

Objectif : Résoudre des systèmes ou inégalités.

Soient \(x, y \in \mathbb{R}\). Montrer que :

1. \(\sqrt{x^2+1} + x > 0\) (Vrai pour tout \(x\)).
2. \(x^2 + y^2 + xy = 0 \iff x = 0 \text{ et } y = 0\).
3. Pour \(x, y > 0\) : \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\).

Objectif : Utiliser la logique pour les ensembles.

Soient \(A, B, C\) trois parties d’un ensemble \(E\).

1. Montrer que : \((A \cup B = A \cap B) \iff A = B\).
2. Montrer que : \((A \cap B = A \cap C \text{ et } A \cup B = A \cup C) \Rightarrow B = C\).

Objectif : Déterminer des fonctions.

Déterminer toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que :

Pour tout \(x, y \in \mathbb{R}\), \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) et \(f(1) = 3\).

(On pourra montrer que \(f(n) = 3n\) pour \(n \in \mathbb{N}\), puis \(\mathbb{Z}\), puis \(\mathbb{Q}\)).

Objectif : Problème ouvert.

Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{N}\) telle que :

1. Montrer que pour tout \(n\), \(f(n) \ge n\). (Par récurrence ou absurde).
2. En déduire que \(f(n) = n\) pour tout \(n\).