On considère une suite géométrique \( (u_n) \) de premier terme \( u_0 = 3 \) et de raison \( q = 2 \).

1. Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).
2. Calculer la somme \( S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n \).
3. Déterminer la limite de la suite \( (u_n) \).

Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \).

1. Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) : \( 0 < u_n < 2 \).
2. Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \).
3. En déduire que la suite est convergente.

Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 4 \).

1. On pose \( v_n = u_n – 6 \). Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique.
2. Exprimer \( v_n \) puis \( u_n \) en fonction de \( n \).
3. Calculer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \).

Soit \( (u_n) \) la suite définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \frac{5u_n – 4}{u_n + 1} \).

1. Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n \neq 2 \).
2. Soit \( (v_n) \) la suite définie par \( v_n = \frac{1}{u_n – 2} \). Montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique.
3. Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \), puis en déduire \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \).

Soit la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) définie par : \( u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2 + k} \).

1. Montrer que pour tout \( k \in \{1, \dots, n\} \) : \( \frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1} \).
2. En déduire que \( \frac{n}{n^2 + n} \le u_n \le \frac{n}{n^2 + 1} \).
3. Calculer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \).

Soit \( f(x) = \frac{x+2}{x+1} \) définie sur \( [1, 2] \). On considère la suite \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \).

1. Montrer que \( f \) est décroissante sur \( [1, 2] \).
2. Montrer que \( u_n \in [1, 2] \) pour tout \( n \).
3. Sachant que \( u_n \) converge vers une limite \( \ell \), déterminer la valeur de \( \ell \).

Déterminer les limites des suites suivantes :

1. \( u_n = \frac{n^2 – \cos(n)}{n^2 + 1} \)
2. \( v_n = \frac{3^n – 2^n}{3^n + 2^n} \)
3. \( w_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n + \frac{n+1}{2n+3} \)

Soient les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) définies pour \( n \in \mathbb{N}^* \) par :

1. Montrer que \( (u_n) \) est croissante.
2. Montrer que \( (v_n) \) est décroissante.
3. Calculer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) \). Que peut-on conclure ?

Soit \( (u_n) \) telle que \( u_0 = 0.5 \) et \( u_{n+1} = u_n – u_n^2 \).

1. Montrer que pour tout \( n \), \( 0 < u_n < 1 \).
2. Montrer que la suite est décroissante.
3. En déduire qu’elle converge et calculer sa limite.

On considère la suite \( (u_n) \) définie par \( u_1 = 1 \) et \( u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + \sqrt{u_n}} \).

1. Démontrer que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( u_n > 0 \).
2. Étudier la monotonie de \( (u_n) \).
3. Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( \frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}} = \frac{1}{\sqrt{u_n}} \sqrt{1 + \sqrt{u_n}} \).
4. Déterminer la limite de \( (u_n) \).