Objectif : Utiliser \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \pm AB \times AH\).

Soit \(ABCD\) un rectangle tel que \(AB = 6\) et \(AD = 4\).

1. Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). (Projeter C sur (AB)).
2. Calculer \(\vec{AD} \cdot \vec{AC}\).
3. Calculer \(\vec{BA} \cdot \vec{AC}\). (Attention au sens).
4. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Calculer \(\vec{ID} \cdot \vec{IC}\).

Objectif : Utiliser \(xx’ + yy’\).

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1 ; 3)\), \(B(4 ; 1)\) et \(C(2 ; -2)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
3. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) (au degré près).
4. Les vecteurs \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\) sont-ils orthogonaux ?

Objectif : Calcul de longueurs dans un triangle quelconque.

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\), \(AC = 8\) et \(\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}\) (60°).

1. Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
2. Calculer la longueur \(BC\).
3. Calculer \(\vec{CA} \cdot \vec{CB}\).

Objectif : Calculer la longueur d’une médiane.

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(BC = 8\).

On note \(I\) le milieu du segment \([BC]\).

1. Écrire la relation du théorème de la médiane pour ce triangle.
2. Calculer \(AI^2\) puis \(AI\).
3. Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) en utilisant les longueurs.

Objectif : Utiliser \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que \(AB = 6\).

1. Déterminer l’ensemble \((\mathcal{E}_1)\) des points \(M\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).
2. Déterminer l’ensemble \((\mathcal{E}_2)\) des points \(M\) tels que \(\vec{AM} \cdot \vec{AB} = 12\). (Projeter M sur (AB)).
3. Déterminer l’ensemble \((\mathcal{E}_3)\) des points \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 36\). (Introduire I milieu de [AB]).

Objectif : Équation cartésienne avec produit scalaire.

Dans un repère orthonormé, on considère \(A(2 ; -1)\) et le vecteur \(\vec{n}(3 ; 2)\).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\).
2. Soit \((D’)\) la droite d’équation \(2x – 3y + 5 = 0\). Montrer que \((D)\) et \((D’)\) sont perpendiculaires.

Objectif : Appliquer la formule \(d(A, D)\).

Soit \((D)\) la droite d’équation \(3x – 4y + 2 = 0\) et le point \(A(2 ; 3)\).

1. Donner un vecteur normal à \((D)\).
2. Calculer la distance du point \(A\) à la droite \((D)\).
3. Déterminer l’équation du cercle de centre \(A\) tangent à la droite \((D)\).

Objectif : Développer \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\).

Dans un repère orthonormé :

1. Déterminer l’équation du cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(1 ; -2)\) et de rayon \(3\).
2. Déterminer l’équation du cercle \((\mathcal{C}’)\) de diamètre \([AB]\) avec \(A(3 ; 1)\) et \(B(-1 ; 5)\).
3. L’ensemble des points \(M(x, y)\) tels que \(x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0\) est-il un cercle ? Si oui, préciser son centre et son rayon.

Objectif : Utiliser la projection.

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). Soit \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\).

Démontrer en utilisant le produit scalaire que :

1. \(AB^2 = \vec{BC} \cdot \vec{BH} = BC \times BH\).
2. \(AC^2 = BC \times CH\).
3. \(AH^2 = – \vec{HB} \cdot \vec{HC} = HB \times HC\).

Objectif : Identités remarquables scalaires.

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs tels que \(||\vec{u}|| = 2\), \(||\vec{v}|| = 3\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\).

1. Calculer \(||\vec{u} + \vec{v}||^2\) puis \(||\vec{u} + \vec{v}||\).
2. Calculer \((2\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})\).
3. Les vecteurs \(\vec{u} + \vec{v}\) et \(\vec{u} – \vec{v}\) sont-ils orthogonaux ?