Signature d’une Permutation
La signature est une propriété fondamentale d’une permutation qui la classe en deux catégories : « paire » ou « impaire ». Cette notion est cruciale pour définir le déterminant en algèbre linéaire et pour construire le groupe alterné.
On peut prouver que toute permutation peut se décomposer en un produit de transpositions (cycles de longueur 2). Bien que cette décomposition ne soit pas unique, la parité du nombre de transpositions est un invariant.
Soit $\sigma \in \mathcal{S}_n$ une permutation. Si $\sigma$ se décompose en un produit de $p$ transpositions, alors la signature de $\sigma$, notée $\varepsilon(\sigma)$, est définie par : $$ \varepsilon(\sigma) = (-1)^p $$
- Si $\varepsilon(\sigma) = +1$, la permutation $\sigma$ est dite paire.
- Si $\varepsilon(\sigma) = -1$, la permutation $\sigma$ est dite impaire.
L’application signature, $\varepsilon: (\mathcal{S}_n, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$, est un morphisme de groupes. Cela signifie que pour toutes permutations $\sigma, \tau$ : $$ \varepsilon(\sigma \circ \tau) = \varepsilon(\sigma) \times \varepsilon(\tau) $$
Pour calculer la signature, on utilise la décomposition en cycles à supports disjoints :
- La signature d’un cycle de longueur $k$ est $(-1)^{k-1}$.
(En particulier, la signature d’une transposition est -1). - La signature d’une permutation est le produit des signatures de ses cycles à supports disjoints.
Exemple d’Application
Calculons la signature de la permutation $\sigma = (1 \ 3 \ 6 \ 7 \ 4) \circ (2 \ 8) \in \mathcal{S}_8$.
- Signature du premier cycle : Le cycle $(1 \ 3 \ 6 \ 7 \ 4)$ est de longueur 5. Sa signature est $(-1)^{5-1} = (-1)^4 = +1$.
- Signature du deuxième cycle : Le cycle (transposition) $(2 \ 8)$ est de longueur 2. Sa signature est $(-1)^{2-1} = -1$.
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Signature de la permutation : On multiplie les signatures des cycles :
$\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(1 \ 3 \ 6 \ 7 \ 4) \times \varepsilon(2 \ 8) = (+1) \times (-1) = -1$.
La permutation $\sigma$ est donc impaire.