Somme et Différence des Nombres Rationnels Cours Complet | Programme $2^{\text{ème}}$ AC (Maroc)

Cours : Somme et Différence des Nombres Rationnels ($2^{\text{ème}}$ AC)
Somme et Différence des Nombres Rationnels
Prérequis : Simplification et Signes

Avant de commencer toute addition ou soustraction, assurez-vous que :

  • Chaque nombre rationnel est écrit sous sa forme la plus simple.
  • Le signe moins est placé devant la fraction (dénominateur toujours positif). Exemple : $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

I. Somme et Différence de nombres rationnels de même dénominateur

Un gâteau est divisé en $8$ parts égales. Vous mangez $\frac{3}{8}$ du gâteau. Votre ami mange $\frac{2}{8}$.

  1. Quelle fraction du gâteau avez-vous mangée ensemble ?
  2. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?
Votre part (3/8) Part ami (2/8) Gâteau (8/8)
Règle d’Opération (Dénominateur Commun)

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres rationnels ayant le même dénominateur non nul, on effectue l’addition (ou la soustraction) de leurs numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} $$

Où $a$, $b$, $c$ sont des entiers relatifs et $b \neq 0$.

Exercice d’application I.1

Calculer les expressions suivantes et simplifier le résultat :

  1. $A = \frac{13}{7} + \frac{5}{7}$
  2. $B = \frac{-1}{15} + \frac{10}{15}$
  3. $C = \frac{5}{9} – \frac{14}{9}$
  1. $$ A = \frac{13+5}{7} = \frac{18}{7} $$
  2. $$ B = \frac{-1+10}{15} = \frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5} \quad (\text{Simplification par } 3) $$
  3. $$ C = \frac{5-14}{9} = \frac{-9}{9} = -1 \quad (\text{Simplification par } 9) $$

II. Somme et Différence de nombres rationnels de dénominateurs différents

L’étape cruciale : Réduction

Il est impossible d’additionner ou de soustraire des nombres rationnels ayant des dénominateurs différents directement. Il faut obligatoirement passer par une étape de réduction au même dénominateur.

Le dénominateur commun doit être un multiple commun des deux dénominateurs initiaux. On cherche idéalement le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) pour faciliter les calculs et la simplification finale.

Règle de l’Addition et Soustraction (dénominateurs différents)

Procédure de Réduction

Pour calculer $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ (ou $\frac{a}{b} – \frac{c}{d}$) :

  1. Trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de $b$ et $d$.
  2. Transformer les deux nombres rationnels pour qu’ils aient ce PPCM comme nouveau dénominateur, en utilisant la propriété : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$.
  3. Appliquer la règle de l’addition/soustraction des numérateurs.
  4. Simplifier le résultat final si nécessaire.
Exercice d’application II.1

Calculer et simplifier :

  1. $D = \frac{1}{2} + \frac{3}{5}$
  2. $E = \frac{7}{12} – \frac{5}{6}$
  3. $F = \frac{-3}{8} + \frac{5}{6}$
  1. $D = \frac{1}{2} + \frac{3}{5}$. PPCM de $2$ et $5$ est $10$. $$ D = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} + \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{5+6}{10} = \frac{11}{10} $$
  2. $E = \frac{7}{12} – \frac{5}{6}$. PPCM de $12$ et $6$ est $12$ (car $12 = 6 \times 2$). $$ E = \frac{7}{12} – \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{7}{12} – \frac{10}{12} = \frac{7-10}{12} = \frac{-3}{12} $$ Simplification par $3$ : $$ E = \frac{-3 \div 3}{12 \div 3} = – \frac{1}{4} $$
  3. $F = \frac{-3}{8} + \frac{5}{6}$. PPCM de $8$ et $6$ est $24$. $$ F = \frac{-3 \times 3}{8 \times 3} + \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{-9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{-9+20}{24} = \frac{11}{24} $$

III. Cas Mixtes et Expressions avec entiers

Addition et Soustraction avec des entiers

Entiers Relatifs

Tout nombre entier relatif $a$ peut être considéré comme un nombre rationnel avec un dénominateur de $1$. C’est-à-dire : $a = \frac{a}{1}$.

Pour additionner un entier avec un nombre rationnel, on met l’entier au même dénominateur que le nombre rationnel.

Exercice d’application III.1

Calculer et simplifier :

  1. $G = 5 – \frac{7}{3}$
  2. $H = -4 + \frac{11}{5}$
  1. $G = \frac{5}{1} – \frac{7}{3}$. Dénominateur commun $3$. $$ G = \frac{5 \times 3}{1 \times 3} – \frac{7}{3} = \frac{15}{3} – \frac{7}{3} = \frac{15-7}{3} = \frac{8}{3} $$
  2. $H = \frac{-4}{1} + \frac{11}{5}$. Dénominateur commun $5$. $$ H = \frac{-4 \times 5}{1 \times 5} + \frac{11}{5} = \frac{-20}{5} + \frac{11}{5} = \frac{-20+11}{5} = \frac{-9}{5} $$

Priorités dans les expressions complexes

Ordre de Priorité

Dans une expression contenant uniquement des additions et des soustractions de nombres rationnels, on effectue les calculs de gauche à droite.

Si des parenthèses sont présentes, on calcule d’abord l’intérieur des parenthèses.

Exercices Finaux de Synthèse

Calculer les expressions suivantes en respectant l’ordre de priorité :

  1. $K = \frac{2}{3} + \left( \frac{1}{6} – \frac{5}{2} \right)$
  2. $L = 1 – \frac{3}{4} + \frac{1}{8}$

1. Calcul de $K$ : (Priorité à la parenthèse)

Calcul de la parenthèse : $\left( \frac{1}{6} – \frac{5}{2} \right)$. Dénominateur commun $6$. $$ \left( \frac{1}{6} – \frac{5 \times 3}{2 \times 3} \right) = \frac{1}{6} – \frac{15}{6} = \frac{1-15}{6} = \frac{-14}{6} $$ Puis $K$ : $$ K = \frac{2}{3} + \frac{-14}{6} $$ Dénominateur commun $6$. $$ K = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{-14}{6} = \frac{4}{6} + \frac{-14}{6} = \frac{4-14}{6} = \frac{-10}{6} $$ Simplification par $2$: $$ K = \frac{-10 \div 2}{6 \div 2} = – \frac{5}{3} $$

2. Calcul de $L$ : (De gauche à droite)

$$ L = \frac{1}{1} – \frac{3}{4} + \frac{1}{8} $$ Dénominateur commun $8$. $$ L = \frac{1 \times 8}{1 \times 8} – \frac{3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1}{8} $$ $$ L = \frac{8}{8} – \frac{6}{8} + \frac{1}{8} $$ $$ L = \frac{8 – 6 + 1}{8} = \frac{3}{8} $$