Les Sous-espaces affines, également appelés variétés linéaires affines, constituent les objets géométriques fondamentaux des espaces affines, généralisant les concepts intuitifs de droites et de plans à des dimensions arbitraires. Ils se définissent comme des translatés de sous-espaces vectoriels et obéissent à des règles d’incidence et de parallélisme rigoureuses.
Définition formelle et espace directeur
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, associé à un espace vectoriel $E$. Une partie non vide $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{E}$ est un sous-espace affine s’il existe un point $A \in \mathcal{F}$ et un sous-espace vectoriel $F \subseteq E$ tels que :
$$ \mathcal{F} = A + F = \{ A + \vec{u} \mid \vec{u} \in F \} $$Le sous-espace vectoriel $F$ est unique et est appelé l’espace directeur (ou direction) de $\mathcal{F}$, noté $\overrightarrow{\mathcal{F}}$. La dimension du sous-espace affine est définie par celle de son espace directeur :
$$ \dim(\mathcal{F}) = \dim(F) $$Cette définition implique une propriété caractéristique essentielle : pour tout couple de points $M, N \in \mathcal{F}$, le vecteur $\overrightarrow{MN}$ appartient nécessairement à $F$. Réciproquement, si $A \in \mathcal{F}$ et $\vec{u} \in F$, alors le point $A+\vec{u}$ appartient à $\mathcal{F}$.
Caractérisation par stabilité barycentrique
Une propriété intrinsèque permet de reconnaître un sous-espace affine sans référence explicite à un point base ou à un espace vectoriel ambiant : une partie non vide $\mathcal{F}$ est un sous-espace affine si et seulement si elle est stable par barycentre.
Cela signifie que pour toute famille finie de points $(A_i)_{i \in I} \subset \mathcal{F}$ et toute famille de scalaires $(\lambda_i)_{i \in I}$ telle que $\sum_{i \in I} \lambda_i = 1$, le barycentre $G$ appartient à $\mathcal{F}$ :
$$ G = \sum_{i \in I} \lambda_i A_i \in \mathcal{F} $$Cette propriété montre que les sous-espaces affines sont les structures naturelles pour la géométrie barycentrique, conservant les milieux, les centres de gravité et les rapports de sections.
Théorèmes d’intersection et de réunion
L’étude des interactions entre sous-espaces affines révèle des structures algébriques précises, analogues mais distinctes de celles des espaces vectoriels en raison du décalage dimensionnel et de la possibilité d’intersections vides.
Théorème de l’intersection
Soit $(\mathcal{F}_i)_{i \in I}$ une famille quelconque de sous-espaces affines de $\mathcal{E}$. Si l’intersection $\bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i$ est non vide, alors c’est un sous-espace affine.
De plus, son espace directeur est exactement l’intersection des espaces directeurs :
$$ \overrightarrow{\left( \bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i \right)} = \bigcap_{i \in I} \overrightarrow{\mathcal{F}_i} $$Preuve : Supposons qu’il existe un point $A \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i$. Pour chaque $i$, on a $\mathcal{F}_i = A + F_i$ où $F_i = \overrightarrow{\mathcal{F}_i}$. Un point $M$ appartient à l’intersection si et seulement si pour tout $i$, $M \in A + F_i$, ce qui équivaut à $\overrightarrow{AM} \in F_i$ pour tout $i$.
Ainsi, $\overrightarrow{AM} \in \bigcap_{i \in I} F_i$. L’ensemble des points $M$ satisfaisant cette condition est exactement $A + (\bigcap_{i \in I} F_i)$, qui est bien un sous-espace affine de direction l’intersection des directions. $\blacksquare$
Enveloppe affine et somme de sous-espaces
Pour deux sous-espaces affines $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$, on définit leur enveloppe affine, notée $\text{Aff}(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2)$, comme le plus petit sous-espace affine les contenant tous deux.
Si $\mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2 \neq \emptyset$, la dimension de l’enveloppe vérifie la formule de Grassmann affine :
$$ \dim(\text{Aff}(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2)) = \dim(\mathcal{F}_1) + \dim(\mathcal{F}_2) – \dim(\mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2) $$Si l’intersection est vide, la dimension de l’enveloppe est donnée par :
$$ \dim(\text{Aff}(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2)) = \dim(\overrightarrow{\mathcal{F}_1} + \overrightarrow{\mathcal{F}_2}) + 1 $$Ce cas correspond à des sous-espaces parallèles distincts ou « gauches » (non coplanaires en dimension supérieure).
Équations cartésiennes et paramétriques
Dans un espace affine de dimension finie $n$, les sous-espaces affines admettent deux représentations analytiques principales : paramétrique et implicite (cartésienne).
Représentation paramétrique
Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de dimension $k$, passant par un point $A$ et de direction $F$ engendrée par une base $(\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_k)$. Un point $M$ appartient à $\mathcal{F}$ si et seulement s’il existe des scalaires $t_1, \dots, t_k \in \mathbb{K}$ tels que :
$$ \overrightarrow{AM} = t_1 \vec{u}_1 + \dots + t_k \vec{u}_k $$Cette écriture met en évidence la structure de variété linéaire engendrée par des vecteurs libres à partir d’une origine.
Système d’équations linéaires
Un sous-espace affine $\mathcal{F}$ de dimension $k$ dans un espace de dimension $n$ peut être défini comme l’ensemble des solutions d’un système compatible de $n-k$ équations linéaires indépendantes :
$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$Où $m = n-k$ est la codimension de $\mathcal{F}$. Le second membre $(b_1, \dots, b_m)$ traduit le fait que le sous-espace ne passe pas nécessairement par l’origine du repère choisi.
Le rang de la matrice du système détermine la codimension. Si le système est incompatible, l’ensemble des solutions est vide, ce qui correspond à l’absence d’intersection entre plusieurs sous-espaces.
Classification et exemples concrets
Illustrons la diversité des sous-espaces affines selon leur dimension dans un espace usuel de dimension $n$.
Classification par dimension
- Dimension 0 : Un point unique. C’est un sous-espace de la forme $\{A\}$ avec un espace directeur nul $\{\vec{0}\}$.
- Dimension 1 : Une droite affine. Elle est engendrée par deux points distincts $A$ et $B$. Sa direction est la droite vectorielle engendrée par $\overrightarrow{AB}$.
- Dimension 2 : Un plan affine. Engendré par trois points non alignés. Sa direction est un plan vectoriel.
- Dimension $n-1$ : Un hyperplan affine. Défini par une seule équation linéaire $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b$.
- Dimension $n$ : L’espace entier $\mathcal{E}$.
Exemple : Intersection de deux plans dans $\mathbb{R}^4$
Considérons deux plans affines $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ (dimension 2) dans $\mathbb{R}^4$. Si leur intersection contient un point $A$, la dimension de l’intersection vérifie :
$$ \dim(\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2) \geq 2 + 2 – 4 = 0 $$L’intersection peut donc être un point (dimension 0), une droite (dimension 1), un plan (si ils sont confondus), ou vide. Dans le cas où les espaces directeurs sont en somme directe ($\dim(F_1+F_2)=4$), l’intersection des directions est $\{\vec{0}\}$. Si les plans ne se coupent pas, ils sont dits « gauches ».
Contre-exemple : Union de sous-espaces
L’union de deux sous-espaces affines n’est généralement pas un sous-espace affine, sauf si l’un est inclus dans l’autre.
Par exemple, la réunion de deux droites sécantes en un point forme une croix. Cet ensemble n’est pas stable par barycentre : le milieu d’un segment reliant un point de la première droite (hors intersection) à un point de la seconde n’appartient à aucune des deux droites. Ce n’est donc pas un sous-espace affine.
Applications en algèbre linéaire et optimisation
Les sous-espaces affines jouent un rôle central dans la résolution de systèmes linéaires et l’optimisation sous contraintes d’égalité.
Ensemble des solutions d’un système linéaire
L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires $AX=B$ (où $A$ est une matrice, $X$ le vecteur inconnu, $B$ le second membre) forme un sous-espace affine.
Si $X_0$ est une solution particulière, l’ensemble des solutions s’écrit :
$$ S = X_0 + \text{Ker}(A) $$C’est exactement la définition d’un sous-espace affine de direction le noyau de l’application linéaire associée. La géométrie de l’ensemble des solutions dépend entièrement de la dimension de ce noyau (le nombre de degrés de liberté).
Contraintes en programmation linéaire
En optimisation, les contraintes d’égalité définissent des sous-espaces affines. La région réalisable est souvent l’intersection d’un sous-espace affine et de demi-espaces (contraintes d’inégalité), formant un polyèdre convexe.
Les algorithmes comme celui du simplexe se déplacent le long des arêtes de ces polyèdres, qui sont elles-mêmes des segments de droites (sous-espaces de dimension 1) incluses dans les frontières de dimension supérieure.
Conclusion synthétique
Les Sous-espaces affines généralisent les concepts intuitifs de droites et de plans à tout espace affine, caractérisés par leur stabilité barycentrique et leur structure de translaté de sous-espace vectoriel. Leurs propriétés d’intersection et d’enveloppe obéissent à des lois dimensionnelles précises, similaires à celles de l’algèbre linéaire mais adaptées au contexte affine.
La maîtrise de leur définition, de leurs équations cartésiennes et de leurs relations d’incidence est fondamentale pour aborder la géométrie affine, la résolution de systèmes linéaires et l’optimisation mathématique dans des espaces de dimension supérieure.