Sous-espaces d’un espace séparé

Sous-espaces d’un Espace Séparé

Une question naturelle en topologie est de savoir si les propriétés d’un espace sont « héritées » par ses sous-espaces. Pour la propriété de séparation de Hausdorff, la réponse est affirmative. C’est une propriété très stable qui se transmet à n’importe quelle partie d’un espace.

Démonstration

Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique séparé, et soit $A$ une partie de $X$. On munit $A$ de la topologie induite, notée $\mathcal{T}_A$.

Nous devons montrer que $(A, \mathcal{T}_A)$ est un espace de Hausdorff.

1. Choix des points : Soient $x$ et $y$ deux points distincts dans le sous-espace $A$. Puisque $x, y \in A$, ils sont aussi des points distincts de l’espace global $X$.
2. Utilisation de la séparation de $X$ : Comme $X$ est séparé, il existe deux voisinages ouverts de $X$, notés $U$ et $V$, tels que $x \in U$, $y \in V$ et $U \cap V = \emptyset$.
3. Construction des voisinages dans $A$ : Par définition de la topologie induite, les ensembles $U_A = U \cap A$ et $V_A = V \cap A$ sont des ouverts de $A$.
   • Puisque $x \in U$ et $x \in A$, on a $x \in U_A$. Donc $U_A$ est un voisinage de $x$ dans $A$.
   • De même, puisque $y \in V$ et $y \in A$, on a $y \in V_A$. Donc $V_A$ est un voisinage de $y$ dans $A$.
4. Vérification de la disjonction : Il nous reste à vérifier que ces nouveaux voisinages sont disjoints. $$ U_A \cap V_A = (U \cap A) \cap (V \cap A) = (U \cap V) \cap A $$ Or, nous savons que $U \cap V = \emptyset$. Donc : $$ (U \cap V) \cap A = \emptyset \cap A = \emptyset $$

Conclusion : Pour toute paire de points distincts $x, y$ dans $A$, nous avons trouvé un voisinage $U_A$ de $x$ dans $A$ et un voisinage $V_A$ de $y$ dans $A$ qui sont disjoints. Le sous-espace $A$ est donc bien un espace séparé.