Surfaces paramétrées : Définition et concepts fondamentaux

Les surfaces paramétrées sont des objets géométriques fondamentaux en analyse et en géométrie différentielle. Une surface paramétrée est l’image d’une application régulière d’un ouvert de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$.

Définition formelle

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$. Une surface paramétrée est une application $\phi : U \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ de classe $C^1$ telle que :

1. • $\phi$ est continue.
2. • Les dérivées partielles $\frac{\partial \phi}{\partial u}(u,v)$ et $\frac{\partial \phi}{\partial v}(u,v)$ existent et sont continues sur $U$.
3. • Le rang du difféomorphisme $d\phi_{(u,v)}$ est constant et égal à $2$ pour tout $(u,v) \in U$.

Les points $(u,v) \in U$ sont les paramètres. L’ensemble $\phi(U) \subset \mathbb{R}^3$ est la surface associée. On note souvent $\phi(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$.

Exemples canoniques

• • Sphère unité : $\phi(\theta,\varphi) = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ avec $\theta \in ]0,\pi[$, $\varphi \in ]0,2\pi[$.
• • Helicoïde : $\phi(u,v) = (u\cos v, u\sin v, v)$ avec $u \in \mathbb{R}$, $v \in \mathbb{R}$.
• • Plan : $\phi(u,v) = (a+u\mathbf{e}_1+v\mathbf{e}_2)$ où $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$ sont deux vecteurs non colinéaires.

Théorèmes et propriétés essentielles

Théorème de la règle de l’étau (ou Théorème de la fonction implicite)

Soit $\phi : U \rightarrow \mathbb{R}^3$ un paramétrage de classe $C^1$. Si en un point $(u_0,v_0) \in U$, le vecteur normal $\mathbf{n} = \frac{\partial \phi}{\partial u} \times \frac{\partial \phi}{\partial v}$ est non nul, alors localement la surface est le graphe d’une fonction $z = f(x,y)$ de classe $C^1$.

Élément de surface

L’élément d’aire infinitésimal sur la surface paramétrée est donné par :

$$
dS = \left\| \frac{\partial \phi}{\partial u} \times \frac{\partial \phi}{\partial v} \right\| du \, dv
$$

Cette expression est fondamentale pour calculer l’aire d’une portion de surface.

Preuve de la régularité locale

Démonstration du théorème de la règle de l’étau

Preuve : Considérons le point $P_0 = \phi(u_0,v_0) = (x_0,y_0,z_0)$. Supposons sans perte de généralité que $\frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0) \neq 0$. La fonction $F : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ définie par $F(x,y,z,u,v) = (x-x(u,v), y-y(u,v), z-z(u,v))$ vérifie $F(P_0,(u_0,v_0)) = 0$. La matrice jacobienne partielle par rapport à $(x,y,z)$ en $(P_0,(u_0,v_0))$ est la matrice identité, donc de rang 3. Par le théorème de la fonction implicite, il existe des fonctions $x = x(u,v)$, $y = y(u,v)$, $z = z(u,v)$ de classe $C^1$ au voisinage de $(u_0,v_0)$ telles que $F(x(u,v),y(u,v),z(u,v),u,v) = 0$. Ainsi, localement la surface est le graphe de $z = z(x,y)$ après inversion des rôles. $\blacksquare$

Exemples détaillés et calculs

Exemple 1 : Élément d’aire sur la sphère

Pour la sphère de rayon $R$, $\phi(\theta,\varphi) = (R\sin\theta\cos\varphi, R\sin\theta\sin\varphi, R\cos\theta)$. On calcule :

$$
\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = (R\cos\theta\cos\varphi, R\cos\theta\sin\varphi, -R\sin\theta)
$$
$$
\frac{\partial \phi}{\partial \varphi} = (-R\sin\theta\sin\varphi, R\sin\theta\cos\varphi, 0)
$$

Le produit vectoriel donne :

$$
\frac{\partial \phi}{\partial \theta} \times \frac{\partial \phi}{\partial \varphi} = R^2\sin\theta (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)
$$

Donc :

$$
dS = R^2\sin\theta \, d\theta \, d\varphi
$$

Exemple 2 : Helicöïde et développabilité

L’helicoïde $\phi(u,v) = (u\cos v, u\sin v, v)$ est une surface développable. Ses dérivées partielles sont :

$$
\frac{\partial \phi}{\partial u} = (\cos v, \sin v, 0), \quad \frac{\partial \phi}{\partial v} = (-u\sin v, u\cos v, 1)
$$

Le produit scalaire $\frac{\partial \phi}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial v} = 0$ et $\left\| \frac{\partial \phi}{\partial u} \right\| = 1$, $\left\| \frac{\partial \phi}{\partial v} \right\| = \sqrt{u^2+1}$. Les lignes de courbure sont les droites $u = \text{cte}$.

Contre-exemples

Non-équivalence des paramétrages

Deux paramétrages différents peuvent décrire la même surface sans être équivalents par changement de paramètres. Par exemple, la sphère peut être paramétrée par les coordonnées sphériques ou par la projection stéréographique. Ces paramétrages ne sont pas liés par une application difféomorphisme global de $\mathbb{R}^2$ sur lui-même à cause des singularités aux pôles.

Surface non-orientable

La bouteille de Klein ne peut pas être plongée dans $\mathbb{R}^3$ sans auto-intersection, mais sa représentation classique dans $\mathbb{R}^3$ a des points de auto-intersection. Elle ne possède pas de paramétrage régulier global sans singularité. Elle illustre la nécessité de considérer des surfaces orientables pour avoir un vecteur normal continu.

Remarques importantes

Une même surface géométrique peut admettre plusieurs paramétrages. L’étude des surfaces paramétrées est le point de départ pour définir les formes fondamentales (première et seconde forme) et les invariants de courbure (gaussienne, moyenne). Pour approfondir, consultez les ressources de KeepMath ou les exposés de CultureMath. La condition de régularité (rang 2 du différentiel) est cruciale : elle garantit que l’image locale est une vraie surface, et non une courbe ou un point isolé.