La symétrie axiale, également appelée réflexion, est l’une des transformations géométriques les plus courantes que l’on rencontre dans la nature et dans l’art. Pensez à l’image que vous voyez dans un miroir, ou à un papillon : l’aile gauche est le symétrique de l’aile droite par rapport au corps de l’insecte. En mathématiques, la symétrie axiale est une isométrie, c’est-à-dire une transformation qui conserve les distances, les formes et les angles.
Dans ce cours exhaustif, nous allons définir la symétrie axiale par rapport à une droite, apprendre à construire le symétrique de n’importe quel point, segment ou figure, et explorer les propriétés fondamentales qui en découlent, essentielles pour la suite de votre parcours en géométrie.
I. Définition et Symétrique d’un Point
I.1 Définition Fondamentale
Deux points $A$ et $A’$ sont symétriques par rapport à une droite $(D)$ si et seulement si la droite $(D)$ est la médiatrice du segment $[AA’]$.
La droite $(D)$ est appelée axe de symétrie.
Si un point $A$ est sur l’axe $(D)$, alors il est son propre symétrique. On dit que $A$ est un point invariant par la symétrie d’axe $(D)$.
Si $A’$ est le symétrique de $A$ par rapport à l’axe $(D)$, cela signifie que deux conditions sont vérifiées simultanément :
- La droite $(D)$ est perpendiculaire au segment $[AA’]$.
- La droite $(D)$ coupe le segment $[AA’]$ en son milieu, noté $I$. Autrement dit, $IA = IA’$.
Ces conditions forment la base de toutes les constructions par symétrie axiale.
I.2 Construction du Symétrique d’un Point (Hors de l’axe)
Pour construire le point $A’$, symétrique du point $A$ par rapport à l’axe $(D)$ :
- Tracer la droite perpendiculaire à $(D)$ passant par $A$. Soit $I$ le point d’intersection de cette perpendiculaire et de l’axe $(D)$.
- Prolonger la droite au-delà de $I$.
- Reporter la distance $AI$ sur la droite prolongée, de l’autre côté de $(D)$ à partir de $I$. Le point obtenu est $A’$.
On utilise généralement la règle graduée et l’équerre, ou le compas pour reporter la distance.
Construire l’axe de symétrie $(D)$, le point $A$, puis son symétrique $A’$ en respectant les étapes de la règle. Observer l’alignement des points $A$, $I$, $A’$ et l’angle de $90^\circ$ en $I$.
II. Symétrique d’un Segment, d’une Droite et d’une Demi-droite
II.1 Symétrique d’un Segment
Le symétrique d’un segment $[AB]$ par rapport à une droite $(D)$ est le segment $[A’B’]$, où $A’$ est le symétrique de $A$ et $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(D)$.
La symétrie axiale conserve la longueur. Par conséquent :
$$ \text{Longueur} (A’B’) = \text{Longueur} (AB) $$Si la symétrie conserve les distances, c’est une isométrie.
Preuve de la conservation de la distance (Esquisse pour approfondissement)
Pour démontrer que $AB = A’B’$, on utilise les propriétés de la médiatrice et l’égalité des triangles. Si $A’$ et $B’$ sont les symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $(D)$, et si $M$ et $N$ sont les points d’intersection de $(D)$ avec $[AA’]$ et $[BB’]$ respectivement, alors les triangles $\triangle ABM$ et $\triangle A’B’N$ peuvent être démontrés isométriques (congruents) par plusieurs critères, prouvant ainsi l’égalité des longueurs $AB$ et $A’B’$.
Cette conservation est la propriété la plus fondamentale de la symétrie axiale.
II.2 Symétrique d’une Droite et d’une Demi-droite
Le symétrique d’une droite $(L)$ par rapport à une droite $(D)$ est toujours une **droite** $(L’)$ :
- Si $(L)$ est parallèle à $(D)$, alors $(L’)$ est parallèle à $(D)$ (et à $(L)$).
- Si $(L)$ coupe $(D)$ en un point $K$, alors $(L’)$ coupe $(D)$ au même point $K$ ($K$ est invariant).
- Si $(L)$ est l’axe $(D)$ lui-même, alors $(L’) = (D)$ ($(D)$ est invariante).
Le symétrique d’une demi-droite $[AB)$ est la demi-droite $[A’B’)$.
Construire le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à la droite $(D)$, sachant que le segment $[AB]$ coupe l’axe $(D)$ en un point $K$.
Conclusion : Les segments $[AB]$ et $[A’B’]$ se coupent au point $K$ qui est sur l’axe $(D)$. De plus, $AB = A’B’$.
III. Symétrique d’un Angle, d’un Cercle et d’un Polygone
III.1 Symétrique d’un Angle
Le symétrique d’un angle $\widehat{xOy}$ est l’angle $\widehat{x’O’y’}$, où $O’$ est le symétrique de $O$, etc. La symétrie axiale conserve la mesure des angles.
$$ \text{mesure}(\widehat{x’O’y’}) = \text{mesure}(\widehat{xOy}) $$Si deux droites $(L_1)$ et $(L_2)$ sont perpendiculaires, leurs symétriques $(L’_1)$ et $(L’_2)$ sont aussi perpendiculaires. La perpendicularité est conservée.
Bien que la symétrie axiale conserve les distances et les angles (c’est une isométrie), elle **inverse l’orientation** (ou le sens de parcours). Si vous parcourez les sommets d’une figure dans le sens horaire, le symétrique se parcourt dans le sens anti-horaire. C’est pourquoi on parle de **réflexion** (effet miroir).
III.2 Symétrique d’un Cercle et d’un Polygone
- Le symétrique d’un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $r$ est le cercle $\mathcal{C}’$ de centre $O’$ (symétrique de $O$) et de même rayon $r$.
- Le symétrique d’un polygone (triangle, quadrilatère, etc.) est un polygone de même nature et de même périmètre. Pour le construire, il suffit de construire les symétriques de tous ses sommets.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Construire le triangle $A’B’C’$, symétrique de $ABC$ par rapport à l’axe vertical $(D)$.
- Quelle est la nature du triangle $A’B’C’$ ? Justifier.
- Comparer l’aire et le périmètre des deux triangles.
1. Nature du triangle $A’B’C’$ :
La symétrie axiale conserve la mesure des angles. Puisque le triangle $ABC$ était rectangle en $A$ (angle $\widehat{BAC} = 90^\circ$), son symétrique $A’B’C’$ est également rectangle en $A’$ (angle $\widehat{B’A’C’} = 90^\circ$).
2. Comparaison Aire et Périmètre :
- Périmètre : La symétrie axiale conserve les longueurs des segments ($AB=A’B’$, $AC=A’C’$, $BC=B’C’$). Le périmètre de $A’B’C’$ est donc égal au périmètre de $ABC$.
- Aire : Puisque les côtés et les angles sont conservés, les deux triangles sont isométriques. Par conséquent, l’aire de $A’B’C’$ est égale à l’aire de $ABC$.
IV. Propriétés Générales de la Symétrie Axiale
Si la figure $\mathcal{F}’$ est le symétrique de la figure $\mathcal{F}$ par rapport à une droite $(D)$, alors la symétrie axiale conserve :
- L’alignement : Le symétrique de points alignés sont des points alignés.
- Les distances : La longueur d’un segment est conservée (Exemple : $AB = A’B’$).
- Les mesures d’angles : La mesure d’un angle est conservée.
- Le parallélisme : Le symétrique de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
- La nature des figures : Le symétrique d’un triangle est un triangle ; le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
- L’aire : L’aire d’une surface plane est conservée.
- Le périmètre : Le périmètre d’un polygone est conservé.
La seule différence notable est l’**inversion de l’orientation**.
IV.1 Points, Droites et Figures Invariants
Un objet (point, droite, figure) est dit invariant par une transformation s’il est son propre symétrique.
- Point invariant : Tout point appartenant à l’axe de symétrie $(D)$ est invariant.
- Droite invariante :
- L’axe de symétrie $(D)$ lui-même.
- Toute droite $(L)$ perpendiculaire à l’axe $(D)$. Dans ce cas, chaque point de $(L)$ a son symétrique sur $(L)$, mais seuls les points d’intersection avec $(D)$ sont invariants.
- Figure invariante : Une figure est globalement invariante si elle coïncide avec son symétrique. Ce cas se produit si la figure possède $(D)$ comme **axe de symétrie** interne (voir Section V).
V. Axes de Symétrie d’une Figure
Une droite $(D)$ est un **axe de symétrie** d’une figure géométrique $\mathcal{F}$ si le symétrique de la figure $\mathcal{F}$ par rapport à $(D)$ est la figure $\mathcal{F}$ elle-même.
Autrement dit, si l’on plie la figure le long de cet axe $(D)$, les deux parties coïncident parfaitement.
V.1 Exemples d’axes de symétrie pour les Polygones et le Cercle
- Segment : Un segment possède deux axes de symétrie :
- La droite qui porte le segment (lui-même).
- La médiatrice du segment.
- Triangle Isocèle : Possède un seul axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
- Triangle Équilatéral : Possède trois axes de symétrie : les médiatrices de ses trois côtés (qui sont aussi les bissectrices et les hauteurs).
- Carré : Possède quatre axes de symétrie : ses deux médiatrices des côtés et ses deux diagonales.
- Rectangle (non carré) : Possède deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
- Losange (non carré) : Possède deux axes de symétrie : ses deux diagonales.
- Cercle : Possède une infinité d’axes de symétrie : toutes les droites passant par son centre.
Dessiner un rectangle $ABCD$ de longueur $6$ cm et de largeur $4$ cm. Tracer ses axes de symétrie. Justifier pourquoi une diagonale n’est pas un axe de symétrie.
Un rectangle possède deux axes de symétrie :
- L’axe $(D1)$ qui est la médiatrice des côtés $AD$ et $BC$.
- L’axe $(D2)$ qui est la médiatrice des côtés $AB$ et $DC$.
Justification pour la diagonale :
Si la diagonale $[AC]$ était un axe de symétrie, alors le symétrique du point $B$ par rapport à $[AC]$ devrait être le point $D$. Or, on constate que si on plie le rectangle le long de $[AC]$, le sommet $B$ ne coïncide pas avec le sommet $D$, car le triangle $\triangle ABC$ n’est pas symétrique de $\triangle ADC$ par rapport à l’hypoténuse $AC$ (sauf si $ABCD$ est un carré).
VI. Exercices de Synthèse et Problèmes
VI.1 Construction et Application des Propriétés
Soit $(D)$ une droite et $O$ un point sur $(D)$. Soit $A$ un point tel que la distance $OA = 5$ cm.
- Construire $A’$, le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(D)$. Quelle est la distance $OA’$ ? Justifier.
- Soit $M$ un point quelconque du plan. Calculer la distance $AM + A’M$ lorsque $M$ est sur l’axe $(D)$. Que représente $O$ pour le segment $[AA’]$ ?
- Construction et distance $OA’$ :
La construction suit le protocole de perpendicularité et d’égalité des distances ($AI = IA’$, avec $I$ l’intersection de $(D)$ et $(AA’)$).
Puisque $O$ est un point de l’axe $(D)$, il est son propre symétrique. La symétrie axiale conserve les distances. Par conséquent, la distance entre $O$ et $A$ est conservée :
$$ OA’ = OA = 5 \text{ cm} $$ - Calcul de $AM + A’M$ :
Si $M$ est sur l’axe $(D)$, alors $M$ est équidistant de $A$ et de $A’$ (par définition de la médiatrice). C’est-à-dire $AM = A’M$.
La distance $AM + A’M = 2 \times AM$.
Le point $O$ est sur l’axe $(D)$ et sur le segment $[AA’]$. Par définition de la symétrie, $(D)$ est la médiatrice de $[AA’]$, donc $O$ est le milieu du segment $[AA’]$ et $O$ est sur l’axe.
VI.2 Problème de Synthèse : Lieu Géométrique
Un berger se trouve en $A$ (hors d’un chemin rectiligne $(D)$ représenté par une rivière). Il doit aller abreuver son troupeau à la rivière $(D)$, puis se rendre à un campement $B$ (également hors de la rivière).
Déterminer le point $M$ sur la rivière $(D)$ tel que la distance totale parcourue ($AM + MB$) soit **minimale**.
Ce problème classique se résout par la symétrie axiale :
- Construire le point $A’$, symétrique du point $A$ par rapport à l’axe $(D)$ (la rivière).
- La symétrie axiale conserve les distances. Donc, pour tout point $M$ sur $(D)$, on a $AM = A’M$.
- L’objectif est de minimiser $AM + MB$, ce qui est équivalent à minimiser $A’M + MB$.
- Le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite. La distance $A’M + MB$ est minimale lorsque $A’$, $M$, et $B$ sont **alignés**.
- Le point $M$ optimal est donc le point d’intersection de la droite $(A’B)$ avec la rivière $(D)$.
Le chemin le plus court est donc la ligne brisée $A \to M \to B$, où $M = (A’B) \cap (D)$.
La symétrie axiale est une transformation essentielle de la géométrie qui conserve toutes les propriétés métriques. Savoir construire le symétrique d’un point par l’équerre et le compas, et appliquer les propriétés de conservation (longueur, angle, aire) sont des compétences fondamentales que vous devez maîtriser. Ces concepts seront cruciaux lorsque vous aborderez d’autres transformations, comme la translation et la rotation, qui sont également des isométries.