Table d’une Loi de Composition
Lorsqu’une loi de composition interne est définie sur un ensemble fini, il est possible de la représenter entièrement à l’aide d’un tableau à double entrée, appelé table de Cayley. Cette table est un outil visuel très pratique pour étudier les propriétés de la loi.
Soit $(E, \star)$ un magma avec $E = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ un ensemble fini. La table de la loi $\star$ est un tableau carré où l’élément à l’intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ est le composé $e_i \star e_j$.
Exemple : L’addition dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
Considérons l’ensemble $E = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$ avec l’addition modulo 3.
| + | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ |
|---|---|---|---|
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ |
Lire les Propriétés sur la Table
La structure de la table permet de déduire visuellement les propriétés de la loi :
- Élément neutre : Un élément $e$ est neutre si la ligne et la colonne correspondantes sont identiques aux en-têtes. Ici, la ligne de $\bar{0}$ est $(\bar{0}, \bar{1}, \bar{2})$, donc $\bar{0}$ est l’élément neutre.
- Commutativité : La loi est commutative si la table est symétrique par rapport à sa diagonale principale. C’est le cas ici.
- Éléments symétrisables : Pour trouver le symétrique d’un élément $x$, on cherche l’élément neutre (ici $\bar{0}$) dans la ligne de $x$. Le symétrique de $x$ est alors l’élément en tête de la colonne correspondante. Ici, le symétrique de $\bar{1}$ est $\bar{2}$, et celui de $\bar{2}$ est $\bar{1}$.
Attention, l’associativité ne se lit pas directement sur la table.