Test : Application injective, surjective, bijective ?

1. Quelle condition est nécessaire et suffisante pour qu’une application linéaire $f$ soit **injective** ?

$\text{Im}(f) = F$ $\text{Ker}(f) = \{\vec{0}_E\}$ $\text{rg}(f) = \dim(E)$

2. Pour qu’une application linéaire $f$ soit **surjective**, il faut que :

L’image $\text{Im}(f)$ soit égale à l’espace de départ $E$. Le rang $\text{rg}(f)$ soit égal à la dimension de l’espace d’arrivée $F$. La dimension du noyau $\dim(\text{Ker}(f))$ soit strictement positive.

3. Si $f: E \to F$ est un isomorphisme, alors on a nécessairement :

$\dim(E) < \dim(F)$ $\dim(E) > \dim(F)$ $\dim(E) = \dim(F)$

4. Si $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, l’application **ne peut jamais être** :

Injective. Surjective. Bijective.

5. Si $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$, l’application **ne peut jamais être** :

Injective. Surjective. Une application linéaire (en général).

Quiz terminé !

Le Théorème du Rang est le seul outil dont vous avez besoin pour analyser la nature d’une application linéaire en dimension finie.

Règle d’or :

Si $\dim(E) < \dim(F)$, pas de surjectivité possible.
Si $\dim(E) > \dim(F)$, pas d’injectivité possible.
Si $\dim(E) = \dim(F)$, alors $f$ est injective $\iff$ $f$ est surjective $\iff$ $f$ est bijective.

Test : Injectivité, Surjectivité, Bijectivité

Déterminer la nature de $f: E \to F$

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