Test : Calcul de la puissance d’une matrice (par diagonalisation) 

Test : Calcul de la puissance d’une matrice (par diagonalisation)

La Formule Clé

Si la matrice $A$ est diagonalisable, on peut écrire $A = P D P^{-1}$, où $D$ est diagonale et $P$ est la matrice de passage.

La formule pour calculer $A^n$ est alors :

$$ A^n = P D^n P^{-1} $$

Ceci est beaucoup plus facile que de multiplier $A$ par elle-même $n$ fois.

1. Si $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, que vaut $D^n$ ?

2. Quel élément de la formule $A^n = P D^n P^{-1}$ est le plus difficile/long à calculer manuellement pour une matrice $3 \times 3$ ?

3. Dans quel ordre effectuez-vous les multiplications pour calculer $A^n = P D^n P^{-1}$ ?

4. Si une matrice $A$ est diagonalisable et a des valeurs propres toutes nulles ($\lambda_i = 0$), que vaut $A^n$ pour $n \ge 2$ ?

5. Dans quel cas la méthode par diagonalisation est-elle applicable pour calculer $A^n$ ?