Test : Cette application est-elle linéaire ? 

Test : Cette application est-elle linéaire ?

Concept : Linéarité

Ce quiz porte sur les conditions pour qu’une application $f: E \to F$ soit linéaire.

Rappel : $f$ est linéaire si :

  1. Additivité : $f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$
  2. Homogénéité : $f(\lambda \vec{u}) = \lambda f(\vec{u})$

1. Si $f$ est une application linéaire, l’image du vecteur nul $\vec{0}$ est toujours :

2. L’application $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, définie par $f(x, y) = x + y + 1$, est-elle linéaire ?

3. L’application $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, définie par $f(x, y) = x y$, est-elle linéaire ?

4. L’application $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, définie par $f(x) = |x|$, est-elle linéaire ?

5. L’application $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, définie par $f(x, y, z) = (x+2y, 0)$, est-elle linéaire ?

6. L’application de dérivation $D: \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}[X]$ ($D(P) = P’$) est-elle linéaire ?

7. Si $f(\lambda \vec{u}) = \lambda f(\vec{u})$ (Homogénéité), cela implique-t-il nécessairement que $f(\vec{0}) = \vec{0}$ ?

8. L’application $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, définie par $f(x) = x^2$, est-elle linéaire ?

9. L’application $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$, définie par $f(x) = (x, 2x)$, est-elle linéaire ?

10. Une application linéaire est entièrement déterminée si l’on connaît ses valeurs :