Test : Combinaisons Linéaires (Définition)

Ce quiz porte sur la définition fondamentale et la reconnaissance des **Combinaisons Linéaires** dans un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$.

Rappel : Un vecteur $\vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ s’il existe des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in K$ tels que : $$\vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n$$

Question 1 : Un vecteur $\vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\{\vec{v}_i\}$ si $\vec{v}$ est :

Le produit scalaire de tous les $\vec{v}_i$. La somme des $\vec{v}_i$. Une somme finie de multiples scalaires des $\vec{v}_i$.

Question 2 : Dans l’expression $\vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n$, les coefficients $\lambda_i$ sont appelés :

Vecteurs. Scalaires ou coefficients de la combinaison linéaire. Éléments de la base.

Question 3 : Dans $\mathbb{R}^3$, le vecteur $\vec{v} = (1, 1, 1)$ est-il une combinaison linéaire de $\vec{u}=(1, 0, 0)$ et $\vec{w}=(0, 1, 0)$ ?

Oui, avec $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 1$. Non, car la troisième composante ne peut pas être générée. Oui, car la somme des composantes est positive.

Question 4 : Le vecteur nul $\vec{0}$ est-il toujours une combinaison linéaire de n’importe quel ensemble $\{\vec{v}_i\}$ de vecteurs ?

Oui, en utilisant des scalaires non nuls. Non, seulement si les vecteurs sont linéairement indépendants. Oui, en utilisant tous les scalaires nuls.

Question 5 : L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires d’un ensemble de vecteurs $S = \{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n\}$ est appelé :

L’espace vectoriel tout entier $E$. L’enveloppe linéaire (ou sous-espace engendré) $\text{Vect}(S)$. La base de $E$.

Question 6 : Si $\vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$, et que $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$, alors $\vec{v} + \vec{w}$ est :

Nécessairement le vecteur nul. Une combinaison linéaire des mêmes vecteurs. Une combinaison linéaire seulement si les scalaires sont les mêmes.

Question 7 : Une combinaison linéaire doit utiliser des scalaires issus de quel ensemble ?

Le corps de base $K$. L’espace vectoriel $E$. L’ensemble des nombres entiers $\mathbb{Z}$.

Question 8 : Dans $\mathbb{R}^2$, le vecteur $\vec{v} = (3, 4)$ est-il une combinaison linéaire de $\vec{u}=(1, 0)$ et $\vec{w}=(0, 1)$ ?

Oui, avec $\lambda_1 = 3$ et $\lambda_2 = 4$. Non, car le système linéaire n’a pas de solution. Oui, mais les scalaires doivent être des nombres entiers.

Question 9 : Le concept de combinaison linéaire est essentiel pour définir :

La dimension et la base d’un espace vectoriel. La caractéristique du corps $K$. L’inversibilité des matrices.

Question 10 : Si un ensemble de vecteurs $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n\}$ est une base de $E$, tout vecteur $\vec{v} \in E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs :

De manière unique. De plusieurs façons différentes. Seulement si le corps $K = \mathbb{R}$.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé la définition et les propriétés des combinaisons linéaires.

Points clés à retenir :

La combinaison linéaire est l’opération fondamentale qui combine la loi interne (addition) et la loi externe (multiplication par un scalaire).
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires forme le sous-espace vectoriel engendré (ou enveloppe linéaire).
Le concept de combinaison linéaire est crucial pour définir l’indépendance linéaire et la notion de base.

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