Test : Comprendre le Théorème de Cayley-Hamilton

Le Théorème Fondamental

Le Théorème de Cayley-Hamilton est une pierre angulaire de l’algèbre linéaire, établissant un lien crucial entre une matrice et son polynôme caractéristique $P_A(X)$.

Il est souvent utilisé pour simplifier les puissances de matrices et calculer l’inverse.

1. Quel est l’énoncé exact du Théorème de Cayley-Hamilton pour une matrice carrée $A$ ?

Toute matrice $A$ est diagonalisable. $A$ est une racine de son polynôme minimal $\mu_A(X)$. $A$ est une racine de son polynôme caractéristique $P_A(X)$, c’est-à-dire $P_A(A) = 0$. Le polynôme minimal divise toujours le polynôme caractéristique.

2. Le Théorème de Cayley-Hamilton implique que le polynôme caractéristique $P_A(X)$ est un…

Polynôme irréductible. Polynôme minimal. Polynôme annulateur de $A$. Polynôme à racines simples.

3. Comment peut-on utiliser l’identité $P_A(A) = 0$ pour calculer l’inverse $A^{-1}$ (si $A$ est inversible) ?

En multipliant l’identité $P_A(A)=0$ par $A$. En exprimant $I$ en fonction de $A$ et des puissances de $A$. En utilisant le déterminant de $A$ qui doit être nul. Il n’y a aucun lien entre Cayley-Hamilton et $A^{-1}$.

4. On peut simplifier le calcul de $A^{100}$ en utilisant le reste de la division euclidienne de $X^{100}$ par quel polynôme ?

Le polynôme $X-100$. Le polynôme caractéristique $P_A(X)$ ou le polynôme minimal $\mu_A(X)$. Le polynôme minimal uniquement si $A$ est diagonalisable. La matrice identité $I_n$.

5. Concernant le degré des polynômes : quel est le lien entre le degré du polynôme minimal $\mu_A(X)$ et la taille de la matrice $n$ ?

$\deg(\mu_A(X)) > n$ $\deg(\mu_A(X)) = n$ $\deg(\mu_A(X)) \le n$ $\deg(\mu_A(X))$ n’est pas lié à $n$

Quiz : Comprendre le Théorème de Cayley-Hamilton

Le Théorème Fondamental

Conclusion