Test : Corps finis (Corps de Galois)

Question 1 : Quel est l’ordre (nombre d’éléments) d’un corps fini $K$ ?

$p$, où $p$ est la caractéristique. $n!$, pour un certain entier $n$. $p^n$, où $p$ est premier et $n \geq 1$.

Question 2 : La caractéristique d’un corps fini $\mathbb{F}_{p^n}$ est toujours :

$0$. Un nombre premier $p$. $n$.

Question 3 : Pour tout corps fini $\mathbb{F}_{p^n}$, l’ensemble de ses éléments non nuls $\mathbb{F}_{p^n}^*$ forme un groupe multiplicatif qui est :

Cyclique. Abélien, mais pas nécessairement cyclique. Non-commutatif.

Question 4 : Pour tout élément $a \in \mathbb{F}_q$ (où $q = p^n$), quelle égalité est toujours vérifiée ?

$a^p = a$. $a^q = a$. $a^q = 1$.

Question 5 : Comment est construit un corps fini $\mathbb{F}_{p^n}$ où $n > 1$ ?

$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. $\mathbb{F}_p[X] / \langle P(X) \rangle$, où $P(X)$ est irréductible de degré $n$. $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{p})$.

Question 6 : Quel est le degré de l’extension $[\mathbb{F}_{p^n} : \mathbb{F}_p]$ ?

$p$. $n$. $p^n$.

Question 7 : Soient $q = p^n$ et $m = p^k$. $\mathbb{F}_m$ est un sous-corps de $\mathbb{F}_q$ si et seulement si :

$p$ divise $q$. $k$ divise $n$. $m$ divise $q$.

Question 8 : Combien existe-t-il de corps finis (non isomorphes) d’ordre $q$ ?

$q!$. $1$. $\infty$.

Question 9 : L’homomorphisme de Frobenius $F: \mathbb{F}_{p^n} \to \mathbb{F}_{p^n}$, défini par $F(a) = a^p$, est toujours :

Un automorphisme du corps. Simplement un morphisme de groupes. L’application identité.

Question 10 : Les éléments de $\mathbb{F}_{p^n}$ sont les racines du polynôme :

$X^p – X$. $X^{p^n} – X$. Le polynôme minimal de l’élément primitif.

Test : Corps Finis ($\mathbb{F}_{p^n}$, Corps de Galois)

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