Test : Éléments algébriques vs transcendants

Question 1 : Un élément $\alpha \in L$ est dit **algébrique** sur le corps $K$ si…

Il est racine d’un polynôme non nul $P(X) \in K[X]$. L’extension $K(\alpha)/K$ est infinie. Il s’écrit $\alpha = a + b \sqrt{d}$ avec $a, b, d \in K$.

Question 2 : Le degré de l’extension $[K(\alpha):K]$ est fini si et seulement si $\alpha$ est :

Un élément transcendant. Un élément algébrique. Un élément primitif.

Question 3 : Quel est le polynôme minimal de $\sqrt{2}$ sur $\mathbb{Q}$ ?

$P(X) = X^2 + 2$. $P(X) = X – \sqrt{2}$. $P(X) = X^2 – 2$.

Question 4 : L’extension $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$ où $\alpha$ est transcendant sur $\mathbb{Q}$ est isomorphe à :

$\mathbb{Q}[X]$ (Anneau de polynômes). $\mathbb{Q}(X)$ (Corps des fractions rationnelles). $\mathbb{Q}[X]/\langle P(X) \rangle$ où $\deg(P) > 1$.

Question 5 : Le nombre $\pi$ est un exemple classique d’élément :

Algébrique sur $\mathbb{Q}$. Algébrique sur $\mathbb{R}$. Transcendant sur $\mathbb{Q}$.

Question 6 : Quel est l’élément transcendant sur $\mathbb{Q}$ dont la transcendance est la plus difficile à prouver ?

$\sqrt{2}$. $e$ (base du logarithme népérien). $\pi$.

Question 7 : L’élément $i$ (tel que $i^2 = -1$) est-il algébrique ou transcendant sur $\mathbb{Q}$ ?

Algébrique. Transcendant. Il est algébrique sur $\mathbb{R}$, mais transcendant sur $\mathbb{Q}$.

Question 8 : Quel est le lien entre la notion d’élément algébrique et les extensions finies ?

Une extension $K(\alpha)/K$ est finie si et seulement si $\alpha$ est algébrique sur $K$. Une extension finie est toujours transcendante. L’algèbre n’a rien à voir avec le degré de l’extension.

Question 9 : Soit $\alpha$ algébrique sur $K$. Si $\alpha$ est aussi racine d’un polynôme $Q(X) \in K[X]$, alors :

Le polynôme minimal $P_{\min}$ de $\alpha$ doit diviser $Q(X)$. $P_{\min}$ est égal à $Q(X)$. Le polynôme minimal n’est pas unique.

Question 10 : L’ensemble de tous les nombres algébriques sur $\mathbb{Q}$ forme-t-il un corps ?

Non, c’est seulement un anneau. Oui, c’est même la clôture algébrique de $\mathbb{Q}$. Non, il n’est pas stable par multiplication.

Test : Éléments Algébriques vs Transcendants

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