Test : Famille Génératrice ?

Ce quiz porte sur la notion de **Famille Génératrice** dans un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$.

Rappel : Une famille $S = \{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n\}$ est génératrice de $E$ si tout vecteur $\vec{v} \in E$ peut être écrit comme une **combinaison linéaire** des vecteurs de $S$. Autrement dit, $\text{Vect}(S) = E$.

Question 1 : Une famille $S$ est génératrice de $E$ si l’espace vectoriel engendré par $S$, noté $\text{Vect}(S)$, est égal à :

$\{\vec{0}\}$. $E$. $S$.

Question 2 : La famille de vecteurs est génératrice si, pour tout $\vec{v} \in E$, le système linéaire $\lambda_1 \vec{v}_1 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{v}$ admet :

Au moins une solution. Une unique solution. Seulement la solution triviale ($\lambda_i = 0$).

Question 3 : Dans $\mathbb{R}^2$, la famille $\{\vec{u}=(1, 0), \vec{v}=(2, 0)\}$ est-elle génératrice de $\mathbb{R}^2$ ?

Oui, car le vecteur $\vec{u}$ est suffisant. Non, car tous les vecteurs engendrés sont sur l’axe des abscisses. Oui, car la famille contient deux vecteurs.

Question 4 : Dans un espace vectoriel de dimension $n$, une famille de $m$ vecteurs est nécessairement génératrice si :

$m < n$. $m > n$. Le rang de la matrice des vecteurs est égal à $m$.

Question 5 : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $K$. Si une famille $S$ est génératrice, elle doit contenir au moins :

$n$ vecteurs. $n-1$ vecteurs. $n+1$ vecteurs.

Question 6 : Si une famille est génératrice de $E$, elle contient nécessairement :

Une sous-famille qui est une base de $E$. Seulement des vecteurs linéairement indépendants. Le vecteur nul.

Question 7 : L’ensemble des polynômes de degré $\le 2$ dans $\mathbb{R}[X]$ ($E = \mathbb{R}_2[X]$) est-il généré par $\{1, X, X^2\}$ ?

Non, car le degré maximal est $2$. Oui, car c’est la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$. Non, car il manque le vecteur nul.

Question 8 : Si une famille est libre et génératrice, elle est appelée :

Un sous-espace vectoriel. Une base. Une famille liée.

Question 9 : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$. Une famille de $4$ vecteurs $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \vec{v}_4 \}$ peut-elle être génératrice de $E$ ?

Non, car elle est nécessairement liée. Oui, mais elle n’est pas libre. Non, car elle doit contenir exactement 3 vecteurs.

Question 10 : Si le rang de la matrice des vecteurs colonnes est égal à la dimension de l’espace $E$, alors la famille est :

Génératrice. Libre. Linéairement dépendante.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé la notion de famille génératrice.

Points clés à retenir :

$\text{Famille Génératrice} \iff \text{Tout vecteur est une combinaison linéaire}$.
La taille minimale d’une famille génératrice est égale à la dimension de l’espace.
$\text{Famille Génératrice} + \text{Famille Libre} \iff \text{Base}$.

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