Test : Matrice associée à une forme quadratique

1. Dans la matrice symétrique $A$ associée à $q(\mathbf{x})$, l’élément $A_{ii}$ sur la diagonale correspond au coefficient de quel terme dans l’expression de $q(\mathbf{x})$ ?

Le produit croisé $x_i x_j$ Le terme au carré $x_i^2$ La somme des termes La matrice n’a pas de terme au carré

2. Si $q(\mathbf{x})$ contient le terme $6x_1 x_2$, comment ce coefficient est-il réparti dans la matrice symétrique $A$ ?

$A_{12} = 6$ et $A_{21} = 0$ $A_{12} = 3$ et $A_{21} = 3$ $A_{11} = 6$ et $A_{22} = 6$ $A_{12} = 6$ et $A_{21} = 6$

3. Quelle est la matrice symétrique $A$ associée à $q(\mathbf{x}) = x_1^2 – 8x_1 x_2 + 2x_2^2$ ?

$A = \begin{pmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 1 & -8 \\ -8 & 2 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

4. Vrai ou Faux : Si on utilise une matrice $B$ non symétrique pour $q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$, cela change la valeur de la forme quadratique $q(\mathbf{x})$.

Vrai Faux

5. Si $A$ est la matrice de $q$ dans la base $\mathcal{B}$, et $P$ est la matrice de passage vers $\mathcal{B}’$, la nouvelle matrice $A’$ vérifie la relation de :

Similitude ($A’ = P A P^{-1}$) Congruence ($A’ = P^T A P$) Transposée ($A’ = A^T$) Identité ($A’ = I$)

6. Quel est le coefficient $A_{13}$ de la matrice symétrique $A$ associée à $q(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2 + 6x_1 x_3$ ?

6 3 0 1

7. Si $A$ est diagonale, la forme quadratique $q(\mathbf{x})$ ne contient pas de :

Termes au carré. Termes constants. Produits croisés ($x_i x_j$ avec $i \neq j$). Termes de degré 3.

8. La matrice $\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ est associée à quelle forme quadratique $q(\mathbf{x})$ ?

$q(\mathbf{x}) = 5x_1 x_2 – 2x_2^2$ $q(\mathbf{x}) = 5x_1^2 – 2x_2^2$ $q(\mathbf{x}) = 5x_1^2 + 2x_2^2$ $q(\mathbf{x}) = -10 x_1 x_2$

9. Vrai ou Faux : Toute forme quadratique peut être associée à une matrice symétrique $A$.

Vrai Faux

10. Le rang de la forme quadratique $q$ est égal au rang de sa matrice symétrique $A$. Le rang est invariant sous :

La congruence ($A’ = P^T A P$). La transposition ($A^T$). La multiplication par un vecteur. L’élévation au carré ($A^2$).

Quiz : Matrice associée à une forme quadratique

La Matrice Symétrique $A$

Conclusion