Test : Matrice d’une forme bilinéaire

1. Comment est calculé le coefficient $A_{23}$ de la matrice $A$ de la forme bilinéaire $f$ dans la base $\mathcal{B} = (\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)$ ?

$A_{23} = f(\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_2)$ $A_{23} = f(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$ $A_{23} = \mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{e}_3$ $A_{23} = f(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2) + f(\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_3)$

2. Si $A$ est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$, et $A’$ est sa matrice dans la nouvelle base $\mathcal{B}’$, liée par la matrice de passage $P$, quelle est la relation de changement de base ?

$A’ = P A P^{-1}$ (Similitude) $A’ = P^T A P$ (Congruence) $A’ = P A P^T$ $A’ = A P$

3. La matrice $A$ d’une forme bilinéaire symétrique $f$ est toujours :

Une matrice orthogonale. Une matrice antisymétrique. Une matrice symétrique ($A = A^T$). La matrice identité.

4. Quelle est la matrice $A$ du produit scalaire standard $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v}$ dans la base canonique ?

La matrice nulle $\mathbf{0}$. La matrice identité $I$. La matrice transposée $A^T$. Une matrice diagonale avec des 2 sur la diagonale.

5. Si la matrice $A$ est non symétrique, comment peut-on retrouver la forme quadratique $q(\mathbf{u})$ associée à $f$ ?

$q(\mathbf{u}) = \mathbf{u}^T A \mathbf{u}$ $q(\mathbf{u}) = \mathbf{u}^T \mathbf{v}$ $q(\mathbf{u}) = \mathbf{u}^T A_S \mathbf{u}$, où $A_S = \frac{1}{2}(A+A^T)$ $q(\mathbf{u}) = \det(A)$

6. Soit $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 2u_1 v_1 – u_1 v_2 + 3u_2 v_1$. Quel est le coefficient $A_{21}$ de la matrice $A$ dans la base canonique ?

2 -1 3 0

7. Le rang d’une forme bilinéaire $f$ est égal à :

La dimension de l’espace $E$. La trace de la matrice $A$. Le rang de la matrice $A$. Le déterminant de $A$.

8. Le radical (ou noyau) à gauche de $f$ est l’ensemble des vecteurs $\mathbf{u}$ tels que $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0$ pour tout $\mathbf{v}$. Il correspond au noyau de quelle matrice ?

$\mathrm{Ker}(A)$ $\mathrm{Ker}(A^T)$ $\mathrm{Im}(A)$ $\mathrm{Im}(A^T)$

9. Vrai ou Faux : Si une forme bilinéaire $f$ est symétrique, sa matrice $A’$ dans une nouvelle base sera toujours symétrique.

Vrai Faux

10. Dans le cas du produit scalaire, la matrice $A$ (appelée Matrice de Gram) est :

Symétrique définie positive. Antisymétrique. Une matrice de rotation. Une matrice de projection.

Quiz : Matrice d’une forme bilinéaire

La Matrice Associée $A$

Conclusion