Test : Propriétés de la trace 

Quiz : Propriétés de la Trace

La Trace comme Invariant Fondamental

La **trace** ($\text{Tr}$) d’une matrice carrée est la somme de ses éléments diagonaux. C’est un invariant essentiel en algèbre linéaire et géométrie différentielle.

  • **Linéarité :** $\text{Tr}(A+B) = \text{Tr}(A) + \text{Tr}(B)$
  • **Cyclicité :** $\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$
  • **Transposition :** $\text{Tr}(A^T) = \text{Tr}(A)$

1. Quelle est la trace de la matrice $A$ ? $$ A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$

2. Si $\text{Tr}(A) = 4$ et $\text{Tr}(B) = -1$, quelle est la trace de la combinaison linéaire $2A – 3B$ ?

3. Soient $A$ ($m \times n$) et $B$ ($n \times m$) deux matrices telles que les produits $AB$ et $BA$ sont définis. Quelle relation est toujours vraie concernant leurs traces ?

4. Comment la trace de la matrice $A$ est-elle liée à la trace de sa transposée $A^T$ ?

5. Quelle est la trace de la matrice identité $I_n$ de taille $n \times n$ ?