Test : Propriétés du déterminant (Linéarité) 

Quiz : Propriétés du Déterminant (Linéarité)

Le Déterminant comme Forme Multilinéaire Alternée

Le déterminant n’est **pas** une application linéaire de $\mathcal{M}_n(K)$ vers $K$. Il est plutôt une forme **multilinéaire alternée** de ses colonnes (ou lignes).

Propriété clé :

  • $\det(A+B) \ne \det(A) + \det(B)$ en général.
  • $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ pour une matrice $n \times n$.

1. Soit $A$ une matrice $n \times n$ dont la $j$-ème colonne est $C_j = \lambda C’_j$. Comment le déterminant change-t-il ?

2. Si $A$ est une matrice $n \times n$, quelle est la relation entre $\det(\lambda A)$ et $\det(A)$ ?

3. Si $A$ et $B$ sont des matrices $n \times n$, $\det(A+B)$ est-il égal à $\det(A) + \det(B)$ ?

4. Que se passe-t-il si l’on échange deux colonnes adjacentes $C_i$ et $C_{i+1}$ dans une matrice $A$ ?

5. Quel est l’effet de l’opération élémentaire $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_i$ ($j \ne i$) sur le déterminant de $A$ ?