Quiz : Qu’est-ce qu’un idéal d’un anneau ?
Soit $(A, +, \cdot)$ un anneau. Un sous-ensemble $I \subseteq A$ est un **idéal** (bilatère) si :
- $(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$ (il contient $0_A$ et est stable par soustraction).
- **Absorption par l’anneau** : $\forall r \in A, \forall x \in I, r \cdot x \in I$ et $x \cdot r \in I$.
Les idéaux sont les équivalents des sous-groupes normaux pour les anneaux, car ils permettent de construire des anneaux quotients $A/I$.
Quiz terminé !
Félicitations ! Comprendre la différence entre un idéal (avec absorption) et un sous-anneau (sans absorption) est fondamental pour aborder les anneaux quotients.
Les idéaux permettent de décomposer les anneaux en structures plus simples, tout comme les sous-groupes normaux dans la théorie des groupes.