Test : Qu’est-ce qu’une extension de corps ?

Question 1 : Une extension de corps $L$ de $K$ ($K \subseteq L$) signifie que $L$ est un espace vectoriel sur $K$. Que représente le **degré** de l’extension $[L:K]$ ?

La dimension du $K$-espace vectoriel $L$. La caractéristique du corps $L$. Le plus petit entier $n$ tel que $n \cdot 1_L = 0_L$.

Question 2 : L’extension $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ (Les réels sur les rationnels) est-elle finie ou infinie ?

Finie, car $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. Infinie, car $\mathbb{R}$ contient un nombre infini d’éléments transcendants sur $\mathbb{Q}$. Finie, de degré 2.

Question 3 : L’extension $\mathbb{C} / \mathbb{R}$ (Les complexes sur les réels) a un degré $[\mathbb{C} : \mathbb{R}]$ égal à :

$1$ $2$ $4$

Question 4 : On appelle **extension simple** une extension $L/K$ qui peut être engendrée par l’adjonction d’un seul élément $\alpha \in L$, notée $L = K(\alpha)$. Quel corps est une extension simple de $\mathbb{Q}$ ?

$\mathbb{Q}(\pi)$. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$. $\mathbb{Q}(X)$ (Corvée de fractions de $\mathbb{Q}[X]$).

Question 5 : Un élément $\alpha \in L$ est dit **algébrique** sur $K$ si…

Il est racine d’un polynôme non nul $P(X) \in K[X]$. Il peut être écrit comme $\alpha = a + b \sqrt{d}$. Il est transcendant (non algébrique).

Question 6 : Si $\alpha$ est algébrique sur $K$, alors l’extension simple $K(\alpha) / K$ est toujours :

Infinie. Finie, de degré égal au degré du polynôme minimal de $\alpha$. Non simple.

Question 7 : Soit $P(X) = X^3 – 2 \in \mathbb{Q}[X]$. Quel est le degré de l’extension $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}$ ?

$1$ $2$ $3$

Question 8 : L’extension $\mathbb{Q}(\pi) / \mathbb{Q}$ ($\pi$ étant le nombre pi) est de degré :

$1$. $\infty$. $2$.

Question 9 : Soit $K \subseteq L \subseteq M$ une tour d’extensions. La formule du degré dit que $[M:K]$ est égal à :

$[L:K] + [M:L]$. $[L:K] \cdot [M:L]$. $\frac{[M:L]}{[L:K]}$.

Question 10 : Une extension $L/K$ est dite **transcendante** si :

Tous les éléments de $L$ sont algébriques sur $K$. Au moins un élément de $L$ est transcendant sur $K$. Le degré de l’extension est fini.

Test : Qu’est-ce qu’une extension de corps ?

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