Test : Qu’est-ce qu’une forme linéaire ?

1. Quelle est la définition correcte d’une **forme linéaire** $\phi$ sur un espace vectoriel $E$ ?

Une application linéaire $\phi: E \to E$. Une application linéaire $\phi: E \to K$ (le corps de base). Une application linéaire $\phi: K \to E$.

2. Comment appelle-t-on l’ensemble de toutes les formes linéaires définies sur $E$ ?

Le Noyau $\text{Ker}(E)$. L’Espace Dual $E^*$. L’Image $\text{Im}(E)$.

3. Si $\phi: E \to K$ est une forme linéaire non nulle, que peut-on dire du noyau $\text{Ker}(\phi)$ ?

$\text{Ker}(\phi) = \{\vec{0}\}$ $\text{Ker}(\phi)$ est un hyperplan de $E$. $\text{Ker}(\phi)$ est l’espace $E$ tout entier.

4. Si $\dim(E) = n$ (en dimension finie), quelle est la dimension de son espace dual $E^*$ ?

$\dim(E^*) = n+1$ $\dim(E^*) = n^2$ $\dim(E^*) = n$

5. L’application $\phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ définie par $\phi(x, y, z) = 2x – 5y$ est-elle une forme linéaire ?

Non, car la variable $z$ est absente. Oui, car l’expression est linéaire et l’arrivée est $\mathbb{R}$. Non, car elle n’est pas surjective.

Quiz : Qu’est-ce qu’une Forme Linéaire ?