Test : Qu’est-ce qu’une matrice orthogonale ? (Propriétés)

Définition et Inversion Facile

Une matrice carrée $Q$ est orthogonale (ou, plus précisément, une matrice unitaire réelle) si sa transposée est égale à son inverse :

$$ Q^T Q = Q Q^T = I \quad \text{ou} \quad Q^{-1} = Q^T $$

Les matrices orthogonales conservent la norme et le produit scalaire des vecteurs.

1. Si $Q$ est une matrice orthogonale, l’inverse $Q^{-1}$ est égal à :

$-Q$ $Q^T$ $I$ (la matrice identité) La matrice nulle $\mathbf{0}$

2. Les colonnes d’une matrice orthogonale $Q$ forment toujours :

Une famille linéairement dépendante. Une base orthonormale (BON) de $\mathbb{R}^n$. Une base de vecteurs propres. Uniquement des vecteurs de norme 1.

3. Quelles sont les seules valeurs possibles pour le déterminant $\det(Q)$ d’une matrice orthogonale $Q$ ?

$1$ ou $0$ $1$ ou $-1$ $\mathbb{R}^*$ (tout nombre réel non nul) Le produit des valeurs propres

4. Si $Q$ est orthogonale, quel est l’effet de $Q$ sur le produit scalaire $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ ?

$\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle$ est toujours nul. $\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ (Le produit scalaire est conservé). $\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle = \det(Q) \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2$

5. Géométriquement, les transformations représentées par des matrices orthogonales (comme les rotations ou les réflexions) conservent :

L’aire, mais pas la longueur. La longueur (norme) et l’angle entre les vecteurs. Uniquement la direction des vecteurs. La matrice de passage $P$.

6. Vrai ou Faux : La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est orthogonale.

Vrai Faux

7. Si $\lambda$ est une valeur propre (éventuellement complexe) d’une matrice orthogonale $Q$, alors :

$\lambda = 1$ ou $\lambda = 0$. $|\lambda| = 1$. $\lambda$ est toujours réel. $\lambda$ est égal à $\det(Q)$.

8. La matrice $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$ (matrice de rotation) est-elle orthogonale ?

Oui Non

9. La matrice identité $I_n$ est-elle une matrice orthogonale ?

Oui Non

10. Si $Q_1$ et $Q_2$ sont deux matrices orthogonales, alors leur produit $Q_1 Q_2$ est :

Nécessairement symétrique. Orthogonal. Jamais inversible. La matrice nulle.

Quiz : Qu’est-ce qu’une matrice orthogonale ? (Propriétés)

Définition et Inversion Facile

Conclusion