Test : Qu’est-ce qu’une valeur propre ? (Définition)

1. Une valeur propre $\lambda$ est un scalaire pour lequel l’application $A$ agit sur un vecteur $\vec{v}$ en le :

Transformant en un nouveau vecteur sans relation simple avec $\vec{v}$. Renvoyant sur le vecteur nul. Multipliant par $\lambda$ (la direction du vecteur est préservée ou inversée). Renvoyant sur un vecteur orthogonal à $\vec{v}$.

2. Le vecteur $\vec{v}$ associé à la valeur propre $\lambda$ doit être :

Le vecteur nul $\vec{v} = \vec{0}$. Un vecteur unitaire (de norme 1). Un vecteur non nul ($\vec{v} \ne \vec{0}$). Un vecteur de l’image de $A$.

3. L’équation des valeurs propres $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ est équivalente à l’équation :

$\det(A – \lambda I) = 0$ $(A – \lambda I) \vec{v} = \vec{0}$ $(A – \lambda I)$ est inversible. $\text{Tr}(A) = \lambda$

4. L’ensemble de tous les vecteurs $\vec{v}$ qui satisfont $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ (y compris $\vec{v} = \vec{0}$) forme :

Le noyau $\text{Ker}(A)$. L’espace propre $E_{\lambda}$. La base de l’espace vectoriel. L’espace colonne $\text{Im}(A)$.

5. Si $\lambda = 0$ est une valeur propre de $A$, que peut-on en déduire sur la matrice $A$ ?

$A$ est inversible. $A$ est non inversible ($\det(A) = 0$). $A$ est la matrice nulle. $A$ est la matrice identité.

Quiz : Qu’est-ce qu’une Valeur Propre ($\lambda$) ?

Définition Fondamentale de l’Eigenvalue

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