Test : Reconnaître un Espace Vectoriel

Ce quiz porte sur la structure d’un **Espace Vectoriel** $E$ sur un corps $K$. Il teste la compréhension des axiomes et des propriétés fondamentales de cette structure clé de l’algèbre linéaire.

Rappel : Un espace vectoriel est défini par une loi interne (addition de vecteurs) et une loi externe (multiplication par un scalaire de $K$).

Question 1 : Pour être un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$, $E$ doit être, pour l’addition, un :

Groupe quelconque. Groupe commutatif (Abélien). Anneau.

Question 2 : Le corps $K$ dont proviennent les scalaires doit être un corps (Field), mais quelle structure pourrait être utilisée si $E$ n’était qu’un module sur un anneau $A$ ?

Un anneau quelconque $A$. Un groupe multiplicatif. Un simple ensemble.

Question 3 : L’une des propriétés de la loi externe (multiplication par un scalaire $\lambda \in K$) est l’identité par l’unité, qui stipule que :

$0_K \cdot \vec{v} = \vec{v}$. $1_K \cdot \vec{v} = \vec{v}$. $\lambda \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \cdot \vec{u} + \vec{v}$.

Question 4 : L’ensemble $\mathbb{Z}$ (nombres entiers) est-il un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{Q}$ (nombres rationnels) ?

Oui, car $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Non, car $\mathbb{Z}$ n’est pas stable par la multiplication externe par un scalaire de $\mathbb{Q}$. Oui, car $(\mathbb{Z}, +)$ est un groupe Abélien.

Question 5 : L’ensemble $\mathbb{R}^n$ est un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{R}$. Quelle est sa dimension ?

$1$. $n$. $\infty$.

Question 6 : L’ensemble des polynômes $K[X]$ sur un corps $K$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

$1$. $n$ (degré maximal). $\infty$.

Question 7 : Si $L/K$ est une extension de corps, $L$ est un $K$-espace vectoriel. Le degré de l’extension $[L:K]$ est égal à :

La dimension du $L$-espace vectoriel $K$. La dimension du $K$-espace vectoriel $L$. Le produit de la dimension de $K$ et de $L$.

Question 8 : La multiplication par le vecteur nul ($\vec{0}$) donne toujours :

$\vec{0}$. $\vec{v}$ (le vecteur original). $0_K$ (le scalaire nul).

Question 9 : Quel est un exemple d’un ensemble qui est un groupe Abélien pour l’addition, mais qui n’est **pas** un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ?

L’ensemble des polynômes $\mathbb{R}[X]$. L’ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers. L’ensemble des matrices $M_2(\mathbb{R})$.

Question 10 : La loi externe (multiplication par un scalaire) doit satisfaire la distributivité par rapport à :

L’addition des vecteurs et l’addition des scalaires. Seulement l’addition des vecteurs. Seulement la multiplication des scalaires.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé les axiomes qui définissent un espace vectoriel.

Points clés à retenir :

L’ensemble des vecteurs $(E, +)$ doit être un groupe Abélien.
Les scalaires doivent provenir d’un corps $K$.
La loi externe doit être distributive et associative par rapport aux lois de $K$.

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