Test : Reconnaître une forme bilinéaire

La Forme Bilinéaire $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$

Une forme bilinéaire $f: E \times E \to \mathbb{K}$ est une application qui est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables, $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$, séparément.

Elle est caractérisée par une matrice $A$ telle que $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u}^T A \mathbf{v}$.

1. La condition de linéarité à gauche pour $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ s’écrit :

$f(\alpha \mathbf{u}, \mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u} + \mathbf{w}, \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + f(\mathbf{w}, \mathbf{v})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0$

2. La condition d’homogénéité à droite pour $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ s’écrit :

$f(\mathbf{u}, \alpha \mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $f(\mathbf{u}, \alpha \mathbf{v}) = \alpha^2 f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u}^T \mathbf{v}$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = f(\alpha \mathbf{u}, \alpha \mathbf{v})$

3. Si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont représentés par des coordonnées et $A$ est la matrice de la forme bilinéaire $f$, alors $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ s’écrit :

$A \mathbf{u} \mathbf{v}$ $\mathbf{u}^T A \mathbf{v}$ $\mathbf{u}^T \mathbf{v}$ $\mathbf{v}^T A \mathbf{u}$

4. Si la matrice $A$ d’une forme bilinéaire $f$ est symétrique ($A=A^T$), alors la forme $f$ est :

Antibilinéaire. Définie positive. Symétrique ($f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$). Alternée.

5. La forme quadratique $q$ associée à $f$ est définie par :

$q(\mathbf{u}) = f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $q(\mathbf{u}) = f(\mathbf{u}, \mathbf{u})$ $q(\mathbf{u}) = \mathbf{u} \mathbf{u}^T$ $q(\mathbf{u}) = \|\mathbf{u}\|^2$

6. Le produit scalaire euclidien standard $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v}$ correspond à une forme bilinéaire dont la matrice $A$ est :

La matrice nulle $\mathbf{0}$. La matrice identité $I$. Une matrice diagonale quelconque. La matrice transposée de $\mathbf{u}$.

7. Considérons $g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = u_1 v_2^2$. Est-ce une forme bilinéaire ?

Oui Non

8. Une forme bilinéaire est linéaire par rapport à la somme $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ si et seulement si elle vérifie :

$f(\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}) = f(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + f(\mathbf{v}, \mathbf{w})$ $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 2f(\mathbf{u}, \mathbf{w})$ $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}) = f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) f(\mathbf{w}, \mathbf{w})$ $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{w}$

9. Si une forme bilinéaire $f$ est symétrique ET définie positive (i.e. $\forall \mathbf{u} \neq \mathbf{0}, f(\mathbf{u}, \mathbf{u}) > 0$), alors $f$ est :

Un produit matriciel quelconque. Un produit scalaire. Une forme linéaire. La matrice identité.

10. Si $f$ est une forme bilinéaire antisymétrique, que peut-on dire de sa matrice $A$ ?

$A = -A^T$ $A = A^T$ $A = I$ $A = A^{-1}$

Quiz : Reconnaître une forme bilinéaire

La Forme Bilinéaire $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$

Conclusion