Test : Réduction de Jordan (Concepts de base)

1. Un bloc de Jordan $J_k(\lambda)$ de taille $k \times k$ est une matrice qui possède sur sa diagonale :

Des 1. La valeur propre $\lambda$. Des 0. Des coefficients aléatoires.

2. En plus de la diagonale, que trouve-t-on dans la sur-diagonale d’un bloc de Jordan $J_k(\lambda)$ ?

La valeur propre $\lambda$. Des 1. Des 0. La matrice identité $I$.

3. Quand la forme de Jordan $J$ d’une matrice $A$ est-elle égale à une matrice diagonale $D$ ?

Si $A$ est nilpotente. Si $A$ est inversible. Si $A$ est diagonalisable. Si $A$ est une matrice de rotation.

4. Le nombre de blocs de Jordan associés à une valeur propre $\lambda$ est égal à :

La multiplicité algébrique de $\lambda$. La dimension de l’espace propre $E_{\lambda} = \mathrm{Ker}(A – \lambda I)$. L’indice de nilpotence du polynôme minimal. La taille $n$ de la matrice.

5. La forme de Jordan est essentielle pour calculer quelle expression, même lorsque la matrice n’est pas diagonalisable ?

Le déterminant de $A$. La trace de $A$. La matrice $A^n$ (puissance) ou $\exp(A)$ (exponentielle de matrice). Le noyau de $A$.

Quiz : Réduction de Jordan (Concepts de base)

La Forme Canonique de Jordan $J$

Conclusion