Test : Solutions d’un système homogène

1. Un système linéaire homogène ($A\vec{x} = \vec{0}$) est-il toujours compatible ?

Oui, il admet toujours au moins la solution triviale $\vec{x} = \vec{0}$. Non, seulement si $\det(A) \ne 0$. Seulement si $\text{rg}(A) = 0$. Non, il n’est compatible que si la matrice est carrée.

2. Si $A$ est une matrice $n \times n$ et $\det(A) \ne 0$, combien de solutions le système $A\vec{x} = \vec{0}$ possède-t-il ?

Une infinité de solutions. Aucune solution. Une solution unique ($\vec{x} = \vec{0}$). $n$ solutions distinctes.

3. Quelle condition garantit qu’un système homogène ($A\vec{x} = \vec{0}$) possède une **infinité** de solutions ?

$\text{rg}(A) = \text{nombre de lignes}$. $\det(A) = 0$ (pour une matrice carrée $A$). $\text{rg}(A) = \text{nombre d’inconnues}$. La matrice $A$ est inversible.

4. Si un système homogène a $n$ inconnues et $\text{rg}(A) = r$, quelle est la dimension de l’espace des solutions ?

$r$ $n$ $n – r$ $r – n$

5. L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est toujours :

Un sous-espace vectoriel. Un espace affine. L’espace $\mathbb{R}^n$ tout entier. La matrice $A$ elle-même.

Quiz : Solutions d’un Système Homogène ($A\vec{x} = \vec{0}$)

Le Système Homogène et le Noyau

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