Test : Somme de deux Sous-Espaces Vectoriels ($F+G$)

Ce quiz porte sur la construction et les propriétés de la **somme** $F+G$ et de la **somme directe** $F \oplus G$ de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ d’un espace $E$.

Rappel : La somme $F+G$ est définie par l’ensemble de toutes les sommes $\vec{f} + \vec{g}$ où $\vec{f} \in F$ et $\vec{g} \in G$.

Question 1 : Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels (SEV) de $E$, la somme $F+G$ est l’ensemble :

$F \cup G$ (L’union de $F$ et $G$). $\{\vec{f} + \vec{g} \mid \vec{f} \in F \text{ et } \vec{g} \in G\}$. $F \cap G$ (L’intersection de $F$ et $G$).

Question 2 : La somme $F+G$ de deux SEV $F$ et $G$ est-elle toujours un sous-espace vectoriel de $E$ ?

Oui, toujours. Non, seulement si $F \cap G = \{\vec{0}\}$. Non, seulement si $F$ et $G$ sont des droites vectorielles.

Question 3 : La somme $F+G$ est dite **directe** (notée $F \oplus G$) si toute décomposition d’un vecteur $\vec{v} \in F+G$ en $\vec{v} = \vec{f} + \vec{g}$ est :

Unique. Non unique. Linéaire.

Question 4 : La somme $F+G$ est directe ($F \oplus G$) si et seulement si l’intersection des deux sous-espaces est :

Un sous-espace de dimension $1$. L’espace nul : $F \cap G = \{\vec{0}\}$. $F \cap G = F$.

Question 5 : Selon la **Formule de Grassmann** pour la dimension de la somme $F+G$, laquelle est correcte ?

$\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G)$. $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) – \dim(F \cap G)$. $\dim(F+G) = \dim(F \cap G)$.

Question 6 : Si la somme $F+G$ est directe ($F \oplus G$), la formule de dimension devient :

$\dim(F \oplus G) = \dim(F) + \dim(G)$. $\dim(F \oplus G) = 0$. $\dim(F \oplus G) = \dim(E)$.

Question 7 : Soit $F$ le plan $z=0$ et $G$ la droite $\text{Vect}((0, 0, 1))$ dans $\mathbb{R}^3$. $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires ? (c’est-à-dire $F \oplus G = \mathbb{R}^3$)

Non, car $\dim(F) + \dim(G) \ne 3$. Oui, car $F \cap G = \{\vec{0}\}$ et $\dim(F+G) = 3$. Non, car l’intersection n’est pas nulle.

Question 8 : Soit $F$ la droite $\text{Vect}((1, 1))$ et $G$ la droite $\text{Vect}((2, 2))$ dans $\mathbb{R}^2$. Est-ce une somme directe $F \oplus G$ ?

Oui, car la somme des dimensions est $1+1=2$. Non, car $F \cap G \ne \{\vec{0}\}$. Non, car $F$ et $G$ ne génèrent pas $\mathbb{R}^2$.

Question 9 : Si $S_F$ est une base de $F$ et $S_G$ est une base de $G$, quand est-ce que $S_F \cup S_G$ est une base de $F+G$ ?

Toujours. Seulement si $F+G$ est une somme directe. Seulement si $F \subseteq G$.

Question 10 : La décomposition d’un vecteur $\vec{v} \in F \oplus G$ en $\vec{f} + \vec{g}$ (avec $\vec{f} \in F$ et $\vec{g} \in G$) est unique. Cela implique que :

$F$ et $G$ sont colinéaires. Si $\vec{f} + \vec{g} = \vec{0}$, alors $\vec{f} = \vec{0}$ et $\vec{g} = \vec{0}$. $\dim(F+G) < \dim(F) + \dim(G)$.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé la construction de la somme de sous-espaces vectoriels.

Points clés à retenir :

$F+G$ est toujours un SEV.
$\text{Somme Directe} \iff F \cap G = \{\vec{0}\} \iff \text{Décomposition unique}$.
La formule de Grassmann est essentielle pour calculer la dimension de la somme.

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