Test : Théorie de Galois (Concepts de base)

Ce quiz explore les concepts fondamentaux de la **Théorie de Galois**, qui établit un lien puissant entre la théorie des corps et la théorie des groupes.

Rappel : L’objectif est de comprendre le **Groupe de Galois**, $\text{Gal}(L/K)$, et les conditions pour qu’une extension soit **galoisienne**.

Question 1 : Si $L/K$ est une extension de corps, le **Groupe de Galois** $\text{Gal}(L/K)$ est défini comme le groupe des :

Isomorphismes de $L$ vers $L$ qui fixent tous les éléments de $K$. Morphisme de groupes de $L$ vers $L$. Automorphismes de $L$ qui fixent tous les éléments de $K$.

Question 2 : Le corps de décomposition d’un polynôme $P(X) \in K[X]$ est :

Le plus petit corps contenant $K$ où $P(X)$ est irréductible. Le plus petit corps contenant $K$ où $P(X)$ se décompose en produit de facteurs linéaires. Le corps des fractions rationnelles $K(X)$.

Question 3 : Une extension finie $L/K$ est dite **galoisienne** si :

L’ordre du groupe de Galois, $|\text{Gal}(L/K)|$, est égal au degré de l’extension, $[L:K]$. Elle est simple, i.e., $L=K(\alpha)$. Tous les éléments de $L$ sont algébriques.

Question 4 : Le **Théorème Fondamental de la Théorie de Galois** établit une correspondance biunivoque entre :

Les idéaux premiers de $K$ et les sous-groupes de $\text{Gal}(L/K)$. Les sous-corps intermédiaires $E$ ($K \subseteq E \subseteq L$) et les sous-groupes du groupe de Galois $\text{Gal}(L/K)$. Les racines du polynôme et les éléments du corps $L$.

Question 5 : Une extension galoisienne $L/K$ est aussi caractérisée par le fait qu’elle est à la fois :

Algébrique et transcendante. Séparable et normale. De degré premier et de caractéristique $0$.

Question 6 : L’extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q}$ est-elle galoisienne ?

Non, car le groupe de Galois est trivial. Oui, car c’est le corps de décomposition de $X^2 – 2$. Non, car le degré de l’extension est $2$, mais l’ordre de $\text{Gal}$ est $1$.

Question 7 : Si $H$ est un sous-groupe du groupe de Galois $\text{Gal}(L/K)$, quel est le corps associé $L^H$ (corps fixe) ?

L’ensemble des éléments de $K$ fixés par tous les $\sigma \in H$. L’ensemble des éléments de $L$ fixés par tous les $\sigma \in H$. Le plus petit sous-corps de $L$ contenant $K$ et $H$.

Question 8 : Dans la correspondance de Galois pour une extension $L/K$ galoisienne, un sous-groupe $H$ est un sous-groupe **normal** de $\text{Gal}(L/K)$ si et seulement si le corps intermédiaire $L^H$ est :

Une extension algébrique de $K$. Une extension galoisienne de $K$. Un corps de caractéristique $0$.

Question 9 : Quel est l’ordre du groupe de Galois $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i) / \mathbb{Q})$ ?

$2$. $4$. $6$.

Question 10 : Une extension $L/K$ finie, normale et séparable est toujours :

Non galoisienne. Galoisienne. Cyclique.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé les concepts de base de la Théorie de Galois.

Points clés à retenir :

$\text{Gal}(L/K)$ est le groupe d’automorphismes fixant $K$.
$\text{Extension Galoisienne} \iff \text{Séparable et Normale}$.
Le Théorème Fondamental établit une correspondance inverse entre les sous-corps intermédiaires et les sous-groupes du groupe de Galois.

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