Test : Trouver les valeurs propres d’une matrice 3×3

Méthode du Polynôme Caractéristique pour $3 \times 3$

Les valeurs propres $\lambda$ d’une matrice $A$ sont les racines du polynôme caractéristique $P_A(\lambda)$, trouvé en résolvant l’équation :

$$ \det(A – \lambda I) = 0 $$ Pour une matrice $3 \times 3$, $P_A(\lambda)$ est un polynôme de degré 3.

1. Pour trouver $P_A(\lambda)$ d’une matrice $3 \times 3$, où le terme $\lambda$ est-il soustrait de $A$ ?

Uniquement du coefficient $A_{11}$. De tous les coefficients de la matrice $A$. Uniquement des coefficients de la diagonale principale ($A_{ii}$). Uniquement des coefficients hors diagonale ($A_{ij}$ avec $i \ne j$).

2. Quelles sont les valeurs propres de la matrice triangulaire $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 5 \\ 0 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ?

$\lambda_1=4$, $\lambda_2=1$, $\lambda_3=5$ $\lambda_1=4$, $\lambda_2=-2$, $\lambda_3=1$ $\lambda_1=0$, $\lambda_2=-2$, $\lambda_3=1$ Les racines de $\lambda^3 – 3\lambda^2 + 7 = 0$

3. Le polynôme caractéristique $P_A(\lambda)$ d’une matrice $A$ de taille $n \times n$ est toujours de la forme :

$\det(A) + \lambda^n$ $(-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \text{Tr}(A) \lambda^{n-1} + \dots + \det(A)$ $\lambda^n – \det(A)$ $(A – \lambda I)$

4. Si vous trouvez les valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ d’une matrice $3 \times 3$, comment pouvez-vous rapidement vérifier si elles sont correctes ?

Vérifier que leur produit est égal à $\text{Tr}(A)$. Vérifier que leur somme est égale à $\det(A)$. Vérifier que leur somme est égale à la trace $\text{Tr}(A)$. Vérifier qu’elles sont toutes non nulles.

5. Si une matrice $3 \times 3$ a un polynôme caractéristique $P_A(\lambda)$ dont la seule racine est $\lambda=5$ (multiplicité 3), quel est son déterminant $\det(A)$ ?

$\det(A) = 5$ $\det(A) = 15$ $\det(A) = 125$ $\det(A) = 0$

Quiz : Trouver les Valeurs Propres d’une Matrice $3 \times 3$

Méthode du Polynôme Caractéristique pour $3 \times 3$

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