Test : Une matrice est-elle diagonalisable ? (Critères) 

Quiz : Une Matrice est-elle Diagonalisable ? (Critères)

Critères Nécessaires et Suffisants

Une matrice $A$ est diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D P^{-1}$.

Conditions de Diagonalisabilité :

  1. Le polynôme caractéristique $P_A(\lambda)$ est **scindé** (toutes les racines sont dans le corps $K$).
  2. Pour chaque valeur propre $\lambda$, la **multiplicité géométrique** ($\dim(E_{\lambda})$) est égale à la **multiplicité algébrique** ($\text{mult. alg.}(\lambda)$).

1. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice carrée $A$ soit **diagonalisable** sur le corps $K$ ?

2. Le polynôme caractéristique $P_A(\lambda)$ d’une matrice $A$ est dit **scindé** si :

3. Pour une valeur propre $\lambda$, la **multiplicité géométrique** $\dim(E_{\lambda})$ est toujours :

4. Quelle est une **condition suffisante** pour garantir qu’une matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

5. Si $A$ est une matrice $3 \times 3$ ayant trois valeurs propres distinctes ($\lambda_1 \ne \lambda_2 \ne \lambda_3$), alors $A$ est :