Test : Une matrice est-elle trigonalisable ?

Le concept de Trigonalisation

Une matrice $A$ est trigonalisable s’il existe une base dans laquelle la matrice prend une forme triangulaire supérieure $T$ (des zéros sous la diagonale).

C’est une condition plus souple que la diagonalisation : $A = P T P^{-1}$.

1. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice $A \in M_n(\mathbb{K})$ soit trigonalisable sur le corps $\mathbb{K}$ ?

Son déterminant doit être nul. Elle doit avoir $n$ valeurs propres distinctes. Son polynôme caractéristique doit être scindé sur $\mathbb{K}$. Elle doit être symétrique.

2. Dans l’espace des matrices complexes $M_n(\mathbb{C})$, est-ce que toute matrice est trigonalisable ?

Oui, toujours. Non, seulement si elle est inversible. Non, seulement si elle est diagonalisable. Cela dépend de la dimension $n$.

3. Si une matrice $A$ est diagonalisable, est-elle aussi trigonalisable ?

Non, jamais. Oui, car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire. Uniquement si ses valeurs propres sont réelles. Uniquement si la matrice est de taille $2 \times 2$.

4. Considérons la matrice de rotation $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ sur le corps des réels $\mathbb{R}$. Est-elle trigonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

Oui, car son déterminant est 1. Oui, elle est déjà triangulaire. Non, car elle n’est pas inversible. Non, car son polynôme caractéristique $X^2+1$ n’a pas de racines réelles.

5. Si $A$ est semblable à une matrice triangulaire $T$, que trouve-t-on sur la diagonale de $T$ ?

Des zéros uniquement. Les valeurs propres de $A$. Les vecteurs propres de $A$. Le déterminant de $A$.

Test : Une matrice est-elle trigonalisable ?

Le concept de Trigonalisation

À retenir