Théorème de Baire : Démonstrations, Propriétés et Exemples

Le Théorème de Baire : Un Pilier de l’Analyse Fonctionnelle

Le Théorème de Baire est un résultat fondamental en analyse fonctionnelle et en topologie. Il affirme qu’un espace de Baire (comme un espace métrique complet) ne peut pas être une réunion dénombrable de parties fermées d’intérieur vide. Ce principe a des conséquences profondes sur la structure des espaces vectoriels normés.

Définitions Formelles

Soit $ X $ un espace topologique.

Un ensemble maigre (ou de première catégorie) est une partie qui est incluse dans une union dénombrable de fermés d’intérieur vide.

Un ensemble non maigre (ou de seconde catégorie) est un ensemble qui n’est pas maigre.

Un espace de Baire est un espace topologique où toute union dénombrable d’ouverts denses est dense. Equivalemment, tout ensemble non maigre a un intérieur non vide.

On note $ \overset{\circ}{A} $ l’intérieur d’un ensemble $ A $. Un fermé $ F $ est d’intérieur vide si $ \overset{\circ}{F} = \emptyset $.

Énoncé du Théorème de Baire

Théorème (Baire, 1899). Tout espace métrique complet est un espace de Baire.

Une forme équivalente, souvent utilisée, est la suivante :

Soit $ (E, d) $ un espace métrique complet. Si $ (F_n)_{n \in \mathbb{N}} $ est une suite de fermés de $ E $ tels que $ \bigcup_{n=0}^{\infty} F_n = E $, alors il existe un indice $ n_0 $ tel que $ \overset{\circ}{F_{n_0}} \neq \emptyset $.

Preuve du Théorème de Baire (cas métrique complet)

Preuve : Supposons que $ E = \bigcup_{n=0}^{\infty} F_n $ avec chaque $ F_n $ fermé et d’intérieur vide. Nous allons construire une suite de boules fermées $ (\overline{B}(x_n, r_n))_{n \in \mathbb{N}} $ dont les diamètres tendent vers 0 et qui sont disjointes de l’union des $ F_n $ jusqu’à l’étape $ n $, ce qui contredira la complétude.

Comme $ \overset{\circ}{F_0} = \emptyset $, on peut choisir $ x_0 \in E \setminus F_0 $ et $ r_0 > 0 $ tel que $ \overline{B}(x_0, r_0) \cap F_0 = \emptyset $.

Par récurrence, supposons construites $ \overline{B}(x_{n-1}, r_{n-1}) $ telle que $ \overline{B}(x_{n-1}, r_{n-1}) \cap \bigcup_{k=0}^{n-1} F_k = \emptyset $. Comme $ \overset{\circ}{F_n} = \emptyset $, la boule $ \overline{B}(x_{n-1}, r_{n-1}) $ n’est pas incluse dans $ F_n $. Il existe donc $ x_n \in \overline{B}(x_{n-1}, r_{n-1}) \setminus F_n $. Par compacité de la boule fermée, on peut choisir $ r_n > 0 $ assez petit pour que :

$$ \overline{B}(x_n, r_n) \subset \overline{B}(x_{n-1}, r_{n-1}) \quad \text{et} \quad \overline{B}(x_n, r_n) \cap F_n = \emptyset. $$

Ainsi, pour tout $ N $, $ \bigcap_{n=0}^{N} \overline{B}(x_n, r_n) $ est non vide (il contient $ x_N $).

Mais la suite $ (x_n) $ est de Cauchy car pour $ p > q $, $ x_p \in \overline{B}(x_q, r_q) $ donc $ d(x_p, x_q) \leq r_q $. Comme $ (E,d) $ est complet, $ (x_n) $ converge vers un $ x \in E $. Puisque les diamètres tendent vers 0, $ x $ appartient à toutes les boules fermées :

$$ \forall n, \quad x \in \bigcap_{k=0}^{n} \overline{B}(x_k, r_k) \subset \overline{B}(x_n, r_n). $$

Donc $ x \notin F_n $ pour tout $ n $, ce qui contredit $ \bigcup F_n = E $.

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Exemples et Contre-exemples

Exemple : $ \mathbb{R} $ muni de la distance usuelle est complet. Il ne peut donc pas s’écrire comme union dénombrable de fermés d’intérieur vide.

Exemple : L’espace $ \ell^2 $ des suites réelles de carré sommable, muni de la norme $ \|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 \right)^{1/2} $, est complet. C’est donc un espace de Baire.

Contre-exemple : L’espace des nombres rationnels $ \mathbb{Q} $ (muni de la distance induite de $ \mathbb{R} $) n’est pas complet. Chaque singleton $ \{q\} $ est fermé dans $ \mathbb{Q} $ et d’intérieur vide. Pourtant $ \mathbb{Q} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \{q\} $ est une union dénombrable de tels fermés. Ainsi $ \mathbb{Q} $ n’est pas un espace de Baire.

Contre-exemple : De même, l’espace $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ des irrationnels (sous-espace de $ \mathbb{R} $) n’est pas complet. Il se décompose en union d’ensembles fermés (dans son propre topology) d’intérieur vide. Ce n’est donc pas un espace de Baire.

Applications Principales

Le théorème de Baire est un outil essentiel pour démontrer l’existence d’objets avec des propriétés fortes. Voici deux applications classiques.

Théorème de Banach-Steinhaus (Principe de la borne uniforme)

Soit $ E $ un espace de Banach (espace normé complet), $ F $ un espace de Banach, et $ \mathcal{L}(E,F) $ l’espace des applications linéaires continues de $ E $ dans $ F $. Soit $ (T_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite d’éléments de $ \mathcal{L}(E,F) $. Si pour tout $ x \in E $, la suite $ (\|T_n x\|_F)_{n \in \mathbb{N}} $ est bornée, alors les normes des opérateurs sont uniformément bornées :

$$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \|T_n\|_{\mathcal{L}(E,F)} < +\infty. $$

Preuve (esquisse) : Pour chaque $ k \in \mathbb{N} $, on définit

$$ E_k = \left\{ x \in E : \sup_{n \in \mathbb{N}} \|T_n x\|_F \leq k \right\}. $$

Chaque $ E_k $ est fermé (car les applications $ x \mapsto \|T_n x\| $ sont continues). L’hypothèse donne $ \bigcup_{k=0}^{\infty} E_k = E $. Par le théorème de Baire, un certain $ E_{k_0} $ a un intérieur non vide. Il contient donc une boule ouverte $ B(0,r) $. On en déduit que pour tout $ x \neq 0 $, en prenant $ y = \frac{r x}{\|x\|} $, on a $ \|T_n y\| \leq k_0 $, donc $ \|T_n x\| \leq \frac{k_0}{r} \|x\| $. Ainsi $ \|T_n\| \leq \frac{k_0}{r} $ pour tout $ n $. $ \blacksquare $

Théorème de l’Application Ouverte

Soit $ E $ et $ F $ deux espaces de Banach, et $ u \in \mathcal{L}(E,F) $ une application linéaire continue surjective. Alors $ u $ est une application ouverte : l’image par $ u $ de tout ouvert de $ E $ est un ouvert de $ F $.

Preuve (esquisse) : Il suffit de montrer que $ u $ envoie la boule ouverte unité $ B_E(0,1) $ sur un voisinage de $ 0 $ dans $ F $. On utilise le théorème de Baire sur l’espace $ F $ et les ensembles $ A_n = \overline{u(B_E(0,n))} $. Chaque $ A_n $ est fermé, et $ \bigcup A_n = F $ par surjectivité. Un certain $ A_{n_0} $ a donc un intérieur non vide. On montre alors que $ 0 $ est point intérieur de $ A_{n_0} $, ce qui implique que $ u(B_E(0,1)) $ contient une boule ouverte centrée en $ 0 $. $ \blacksquare $

Généralisations et Liens

Le théorème de Baire se généralise aux espaces localement compacts Hausdorff (ils sont de Baire). Il existe aussi une version pour les groupes topologiques.

Pour approfondir les applications en analyse fonctionnelle, consultez les cours et exercices de mathématiques supérieur, licence et prépa sur KeepMath. Une perspective historique et des extensions sont disponibles sur CultureMath.

Conclusion

Le théorème de Baire est un résultat de catégorie. Il garantit qu’un espace métrique complet est « gros » au sens où il ne peut être négligé comme union de petits ensembles (maigres). Cette propriété topologique sous-tend des théorèmes d’analyse aussi importants que le principe de la borne uniforme ou le théorème de l’application ouverte. Sa preuve, constructive par l’absurde, illustre la puissance de la complétude.