Contexte : Ensembles « Maigres » et « Gros »
Le théorème de Baire est une façon de formaliser l’idée qu’un espace « complet » (comme un espace compact ou un espace métrique complet) ne peut pas être « trop petit ».
- Un sous-ensemble est dit d’intérieur vide (ou rare) s’il ne contient aucune boule ouverte, aussi petite soit-elle. C’est un ensemble « plat » ou « poreux ». L’ensemble des points à coordonnées rationnelles dans le plan est d’intérieur vide.
- Un ensemble est dit maigre (ou de première catégorie de Baire) s’il est une union dénombrable d’ensembles d’intérieur vide. C’est une collection de « poussières » qui reste une « poussière ».
- Un espace de Baire est un espace qui n’est pas maigre en lui-même. C’est un espace « gros » qui ne peut pas être décomposé en une simple collection de poussières.
Théorème de Baire
Tout espace topologique compact est un espace de Baire.
Cela a deux formulations équivalentes :
- Version « fermée » : Un espace compact ne peut pas être écrit comme une union dénombrable de fermés d’intérieur vide.
- Version « ouverte » : Dans un espace compact, toute intersection dénombrable d’ouverts denses est un ensemble dense (et donc non vide).
Démonstration (par les fermés emboîtés)
La preuve est un argument classique par l’absurde qui met en lumière une propriété fondamentale des espaces compacts. On utilise la version « ouverte ».
- Hypothèse : Soit $X$ un espace compact. Soit $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d’ouverts denses dans $X$. Nous voulons montrer que leur intersection $D = \bigcap_{n=0}^\infty U_n$ est dense.
- Pour montrer que $D$ est dense, il suffit de montrer qu’il rencontre n’importe quel ouvert non vide $W$ de $X$.
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Construction d’une suite de fermés :
- Puisque $U_0$ est dense, son intersection avec $W$ est un ouvert non vide. On peut donc y trouver un fermé non vide $F_0$ (par exemple, une boule fermée si l’espace est métrique).
- Puisque $U_1$ est dense, son intersection avec l’intérieur de $F_0$ est un ouvert non vide. On peut y trouver un fermé non vide $F_1 \subset F_0$.
- On continue ainsi par récurrence : on construit une suite de fermés non vides $F_0 \supset F_1 \supset F_2 \supset \dots$ telle que $F_n \subset U_n$.
- Application de la compacité : Nous avons une suite décroissante de fermés non vides dans un espace compact. Le théorème des fermés emboîtés (une conséquence de la compacité) affirme que leur intersection est non vide : $$ \bigcap_{n=0}^\infty F_n \neq \emptyset $$
- Conclusion : Soit $x$ un point dans cette intersection. Par construction, $x \in F_n$ pour tout $n$. Et comme $F_n \subset U_n$, on a $x \in U_n$ pour tout $n$. Donc $x \in \bigcap U_n = D$. De plus, $x \in F_0 \subset W$.
- Nous avons trouvé un point $x$ qui est à la fois dans $D$ et dans $W$. L’intersection $D \cap W$ n’est donc pas vide. Comme $W$ était un ouvert non vide quelconque, cela prouve que $D$ est dense.
Importance Fondamentale
- Analyse Fonctionnelle : Le théorème de Baire est l’ingrédient essentiel pour prouver les trois piliers de l’analyse fonctionnelle : le théorème de Banach-Steinhaus, le théorème de l’application ouverte et le théorème du graphe fermé.
- Existence d’objets « pathologiques » : Il permet de prouver l’existence d’objets qui sont difficiles à construire explicitement. Par exemple, on peut montrer que l’ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ qui ne sont dérivables en aucun point est un ensemble « gros » (dense) au sens de Baire.