Pour aborder ce théorème, il faut se placer dans le cadre de l’analyse fonctionnelle.
- Espace de Banach : Un espace vectoriel normé qui est complet pour la distance induite par sa norme.
- Espace Dual : L’espace dual $E’$ d’un espace normé $E$ est l’espace de toutes les formes linéaires continues sur $E$.
- Topologie Faible-* (weak-*) : Sur l’espace dual $E’$, on peut définir une topologie plus « faible » que celle induite par la norme. Dans la topologie faible-*, une suite de formes linéaires $(\varphi_n)$ converge vers $\varphi$ si, pour chaque vecteur fixe $x \in E$, la suite de scalaires $(\varphi_n(x))$ converge vers $\varphi(x)$. C’est une convergence « point par point ».
Un résultat fondamental (le théorème de Riesz) stipule que dans un espace de Banach de dimension infinie, la boule unité fermée n’est jamais compacte pour la topologie de la norme (dite topologie forte). Le théorème de Banach-Alaoglu montre que la situation change radicalement si l’on affaiblit la topologie.
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Alors la boule unité fermée de son espace dual $E’$ est compacte pour la topologie faible-*.
Esquisse de la Démonstration
La démonstration est un argument non constructif qui repose sur un autre théorème fondamental de la topologie, le théorème de Tychonoff (qui est équivalent à l’Axiome du Choix).
- Identification à un Espace Produit : Soit $B’$ la boule unité fermée de l’espace dual $E’$. Pour chaque vecteur $x \in E$, considérons le disque fermé $D_x = \{ z \in \mathbb{K} \mid |z| \le \|x\| \}$ (où $\mathbb{K}$ est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Chaque $D_x$ est un espace compact. On considère l’espace produit $P = \prod_{x \in E} D_x$.
- Application du Théorème de Tychonoff : Le théorème de Tychonoff affirme que tout produit d’espaces compacts est compact pour la topologie produit. L’espace $P$ est donc compact.
- Plongement : On peut « plonger » la boule $B’$ dans l’espace produit $P$. On identifie une forme linéaire $\varphi \in B’$ avec l’élément $(\varphi(x))_{x \in E}$ de $P$. C’est possible car si $\varphi \in B’$, alors $|\varphi(x)| \le \|\varphi\| \|x\| \le \|x\|$, donc $\varphi(x) \in D_x$.
- Équivalence des Topologies : On montre que la topologie faible-* sur $B’$ est précisément la topologie induite par la topologie produit de $P$.
- Fermeture : Il ne reste plus qu’à montrer que l’image de $B’$ dans $P$ est un sous-ensemble fermé de l’espace compact $P$. Un sous-ensemble fermé d’un espace compact est lui-même compact. La fermeture de $B’$ dans $P$ découle du fait que les conditions de linéarité qui définissent une forme linéaire sont des conditions « fermées » dans la topologie produit.
- Conclusion : $B’$ est homéomorphe à un sous-ensemble fermé d’un espace compact, elle est donc compacte pour la topologie faible-*.
Implications et Utilisation
- Analogue de Bolzano-Weierstrass : Ce théorème est la généralisation la plus importante du théorème de Bolzano-Weierstrass aux espaces de dimension infinie. Il garantit que de toute suite bornée de formes linéaires, on peut extraire une sous-suite qui converge (au sens faible-*).
- Théorie des Distributions : Il est utilisé pour définir la convergence des distributions.
- Existence de Solutions : En analyse, la compacité est un outil essentiel pour prouver l’existence de solutions à des problèmes variationnels (recherche de minima/maxima). Le théorème de Banach-Alaoglu permet d’appliquer ces techniques dans des espaces de dimension infinie.
- Physique Quantique : Il a des applications en physique quantique et en théorie quantique des champs pour garantir l’existence de certains états (comme les états fondamentaux).