Ce théorème s’intéresse au comportement d’une collection (potentiellement infinie) d’applications linéaires continues, appelées opérateurs, entre deux espaces vectoriels normés.
- Un espace de Banach est un espace vectoriel normé qui est complet (toute suite de Cauchy converge). C’est une condition technique cruciale pour le théorème.
- Soit $\mathcal{F} = \{T_i\}_{i \in I}$ une famille d’opérateurs linéaires continus d’un espace de Banach $X$ vers un espace normé $Y$.
- La famille est dite simplement bornée (ou ponctuellement bornée) si pour chaque vecteur $x \in X$, la suite des normes $\|T_i(x)\|$ est bornée. Autrement dit, pour tout $x$, il existe une constante $M_x$ telle que $\|T_i(x)\| \le M_x$ pour tout $i$. La borne peut dépendre de $x$.
- La famille est dite uniformément bornée si les normes des opérateurs eux-mêmes sont bornées. Autrement dit, il existe une seule constante $M$ telle que $\|T_i\| \le M$ pour tout $i$. La borne est la même pour tous les $x$.
Soit $X$ un espace de Banach et $Y$ un espace vectoriel normé. Soit $\mathcal{F}$ une famille d’opérateurs linéaires continus de $X$ dans $Y$.
Si la famille $\mathcal{F}$ est simplement bornée, alors elle est uniformément bornée.
$$ \left( \forall x \in X, \sup_{T \in \mathcal{F}} \|T(x)\|_Y < \infty \right) \implies \left( \sup_{T \in \mathcal{F}} \|T\| < \infty \right) $$
Idée de la Démonstration (via le Théorème de Baire)
La démonstration est l’une des applications les plus célèbres du théorème de Baire. Elle n’est pas constructive mais extraordinairement puissante.
- Pour chaque entier $n \ge 1$, on définit l’ensemble $F_n = \{ x \in X \mid \forall T \in \mathcal{F}, \|T(x)\| \le n \}$.
- Par continuité des opérateurs $T$ et de la norme, chaque $F_n$ est un ensemble fermé.
- L’hypothèse que la famille est simplement bornée signifie que pour tout $x$, il existe un $n$ tel que $x \in F_n$. Autrement dit, l’union des $F_n$ recouvre tout l’espace $X$ : $X = \bigcup_{n=1}^\infty F_n$.
- Puisque $X$ est un espace de Banach (donc complet), le théorème de Baire s’applique : il affirme qu’au moins un des $F_n$ doit contenir une boule ouverte (ne peut pas être d’intérieur vide).
- Il existe donc un $N$, un point $x_0$ et un rayon $r>0$ tels que la boule $B(x_0, r)$ est incluse dans $F_N$. Sur cette boule, tous les opérateurs sont uniformément bornés par $N$.
- Un argument de recentrage et de mise à l’échelle permet de passer de cette borne « locale » sur une boule à une borne « globale » pour la norme des opérateurs, prouvant ainsi que la famille est uniformément bornée.
Importance et Applications
- Un des trois piliers de l’analyse fonctionnelle, avec le théorème de Hahn-Banach et le théorème de l’application ouverte.
- Critère de convergence : Il fournit un critère simple pour la convergence d’une suite d’opérateurs. Une suite $(T_n)$ converge vers $T$ si et seulement si les normes $\|T_n\|$ sont bornées et si $T_n(x)$ converge vers $T(x)$ sur un sous-ensemble dense de $X$.
- Analyse de Fourier : L’une de ses applications les plus spectaculaires est de prouver l’existence d’une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point. On montre que la suite des opérateurs de convolution avec le noyau de Dirichlet est simplement bornée mais pas uniformément bornée, ce qui implique, par une version du théorème, qu’il doit exister un « point de divergence ».