Contexte : Coniques et Hexagones
Le théorème de Brianchon est un résultat fondamental de la géométrie projective, qui est le dual du célèbre théorème de Pascal.
- Une conique est une courbe obtenue par l’intersection d’un cône avec un plan (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole).
- Un hexagone est une figure à six sommets et six côtés. Dans le cadre de ce théorème, on considère un hexagone dont les six côtés sont tangents à une conique.
Théorème de Brianchon
Si un hexagone a ses six côtés tangents à une conique, alors les trois diagonales principales joignant les sommets opposés sont concourantes en un même point, appelé point de Brianchon.
Pour un hexagone tangent $ABCDEF$, les diagonales principales sont les segments $(AD)$, $(BE)$ et $(CF)$. Le théorème stipule que ces trois segments se coupent en un unique point.
L’idée de la Démonstration (par Dualité)
La preuve du théorème de Brianchon est souvent présentée comme une application du principe de dualité en géométrie projective.
- Principe de Dualité : En géométrie projective plane, il existe une correspondance qui échange les points et les droites. On peut reformuler n’importe quel théorème en échangeant les rôles des « points » et des « droites » pour obtenir un théorème « dual ».
- Théorème de Pascal : Le théorème de Pascal stipule que si un hexagone est inscrit dans une conique (ses six sommets sont sur la conique), alors les points d’intersection des côtés opposés sont alignés.
- Application : Le théorème de Brianchon est la version duale du théorème de Pascal.
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Dualité des éléments :
- Le point de Brianchon (point de concours des diagonales) est le dual de la droite de Pascal (droite d’alignement des points d’intersection).
- Les six côtés de l’hexagone tangent (Brianchon) sont les duaux des six sommets de l’hexagone inscrit (Pascal).
- Les sommets de l’hexagone (Brianchon) sont les duaux des côtés de l’hexagone (Pascal).
Importance Fondamentale
- Symétrie géométrique : Il met en évidence une symétrie profonde et élégante entre les propriétés de tangence (Brianchon) et d’incidence (Pascal) des coniques.
- Base de la géométrie projective : Avec le théorème de Pascal, il constitue une pierre angulaire de la géométrie des coniques et de la géométrie projective en général.