Le Théorème de Desargues constitue un pilier fondamental de la géométrie d’incidence projective. Ce résultat algébrique et géométrique remarquable établit une condition d’équivalence stricte pour la perspective spatiale entre deux triangles.
Définitions formelles des Perspectives
Considérons un espace projectif $\mathbb{P}(E)$ engendré par un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$. Soient $ABC$ et $A’B’C’$ deux triangles définis par des points projectifs non dégénérés.
Ces sommets correspondent à des droites vectorielles unidimensionnelles. Posons algébriquement $A = \mathbb{K}\vec{a}$, $B = \mathbb{K}\vec{b}$ et $C = \mathbb{K}\vec{c}$.
Perspective Centrale Vectorielle
Deux triangles sont en perspective centrale s’il existe un centre de perspective unique $\Omega \in \mathbb{P}(E)$. Formellement, les droites projectives reliant les sommets homologues sont parfaitement concourantes.
$$ \Omega \in (AA’) \cap (BB’) \cap (CC’) $$Algébriquement, cela implique l’existence d’un vecteur directeur $\vec{\omega}$ pour $\Omega$. Il existe des scalaires non nuls traduisant la dépendance linéaire :
$$ \exists (\alpha, \alpha’) \in \mathbb{K}^2, \quad \vec{\omega} = \alpha\vec{a} + \alpha’\vec{a}’ $$ $$ \exists (\beta, \beta’) \in \mathbb{K}^2, \quad \vec{\omega} = \beta\vec{b} + \beta’\vec{b}’ $$Perspective Axiale d’Incidence
La perspective axiale caractérise l’alignement des intersections des côtés homologues. Définissons les points d’intersection projectifs suivants :
$$ P = (BC) \cap (B’C’) $$ $$ Q = (AC) \cap (A’C’) $$ $$ R = (AB) \cap (A’B’) $$Ces deux structures triangulaires sont en perspective axiale si et seulement si les points $P, Q, R$ appartiennent à une même droite projective $\Delta$, nommée axe de perspective.
Le Théorème de Desargues et ses Propriétés
Le cœur de la géométrie arguésienne relie bijectivement ces deux définitions. Ce théorème d’incidence est valide dans tout espace projectif de dimension supérieure ou égale à deux.
Énoncé du Théorème
Soient deux triangles projectifs $ABC$ et $A’B’C’$ dépourvus de sommets communs. Le Théorème de Desargues postule l’équivalence géométrique absolue suivante :
$$ \text{Perspective Centrale} \iff \text{Perspective Axiale} $$L’existence d’un point de concours $\Omega$ implique invariablement l’alignement des points d’intersection sur un axe $\Delta$. Réciproquement, un axe commun garantit un centre de perspective.
Démonstrations rigoureuses par l’algèbre linéaire
La preuve vectorielle moderne est particulièrement élégante. Elle exploite les relations de dépendance linéaire dans l’espace sous-jacent $E$.
Preuve de l’Implication Directe
Preuve : Supposons les triangles en perspective centrale depuis $\Omega = \mathbb{K}\vec{\omega}$. Ajustons les représentants vectoriels pour simplifier l’écriture de la combinaison linéaire initiale :
$$ \vec{\omega} = \vec{a} – \vec{a}’ = \vec{b} – \vec{b}’ = \vec{c} – \vec{c}’ $$Construisons le vecteur directeur de l’intersection $R$. En manipulant l’égalité $\vec{a} – \vec{a}’ = \vec{b} – \vec{b}’$, nous regroupons les termes homologues :
$$ \vec{a} – \vec{b} = \vec{a}’ – \vec{b}’ $$Posons $\vec{r} = \vec{a} – \vec{b}$. Le vecteur $\vec{r}$ appartient à $\text{Vect}(\vec{a}, \vec{b})$ et à $\text{Vect}(\vec{a}’, \vec{b}’)$. Ainsi, il dirige l’intersection $(AB) \cap (A’B’)$.
$$ R = \mathbb{K}\vec{r} \quad \text{avec} \quad \vec{r} = \vec{a} – \vec{b} $$Par permutation circulaire stricte, définissons les vecteurs directeurs pour les points d’intersection $P$ et $Q$ :
$$ \vec{p} = \vec{b} – \vec{c} \quad \implies \quad P = \mathbb{K}\vec{p} $$ $$ \vec{q} = \vec{c} – \vec{a} \quad \implies \quad Q = \mathbb{K}\vec{q} $$Évaluons enfin la somme algébrique de ces trois vecteurs d’intersection :
$$ \vec{r} + \vec{p} + \vec{q} = (\vec{a} – \vec{b}) + (\vec{b} – \vec{c}) + (\vec{c} – \vec{a}) $$ $$ \vec{r} + \vec{p} + \vec{q} = \vec{0} $$Cette annulation prouve une relation de dépendance linéaire stricte entre $\vec{r}, \vec{p}$ et $\vec{q}$. Par conséquent, les points projectifs associés $R, P$ et $Q$ sont rigoureusement alignés. $\blacksquare$
Exemples et Contre-exemples
L’universalité de cette propriété dépend intrinsèquement du corps de base et des axiomes géométriques sélectionnés.
Application dans le Plan Projectif Réel
Considérons l’espace standard $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$. Soit un triangle $ABC$ et un centre $\Omega$ externe. Choisissons un point $A’$ sur la droite $(\Omega A)$.
En fixant un axe arbitraire $\Delta$, on trouve $R = (AB) \cap \Delta$. La droite $(A’R)$ recoupe alors $(\Omega B)$ en $B’$. Cette construction itérative permet de générer un triangle $A’B’C’$ parfaitement en perspective, illustrant la validité opérationnelle du théorème.
Contre-exemple : Les Plans Non-Arguésiens
La réciproque métamathématique est fascinante. Il existe des structures géométriques, appelées plans projectifs non arguésiens, où ce théorème échoue.
Le Plan de Moulton en est l’exemple canonique. Dans ce modèle topologique, les droites incidentes de pente négative sont artificiellement « brisées » lors de la traversée de l’axe vertical.
$$ f(x, y) = y – m x \quad \text{si } x < 0 $$ $$ f(x, y) = y - \frac{m}{2} x \quad \text{si } x \ge 0 $$Dans cet espace distordu, deux triangles peuvent partager un centre de perspective $\Omega$ vectoriel. Cependant, les déviations asymétriques des sécantes empêchent l’alignement des points d’intersection $P, Q, R$. Le théorème y est donc structurellement invalide.