La classification des groupes finis simples est un des projets les plus ambitieux des mathématiques. Les groupes simples sont les « briques élémentaires » à partir desquelles tous les groupes finis sont construits.
- Un groupe est simple s’il n’admet aucun sous-groupe normal non trivial.
- Un groupe est résoluble s’il peut être « décomposé » en une suite de sous-groupes dont les quotients sont des groupes abéliens. Un groupe simple non abélien n’est donc pas résoluble.
Avant les travaux de Feit et Thompson, on savait que les groupes d’ordre pair pouvaient être simples (par exemple, le groupe alterné $A_5$ d’ordre 60). La question était de savoir si un groupe d’ordre impair pouvait être simple et non abélien.
Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.
Le seul groupe simple d’ordre impair est le groupe cyclique d’ordre premier. Autrement dit, tout groupe simple fini non abélien est d’ordre pair.
Esquisse de la Démonstration
La démonstration originale de Walter Feit et John Thompson est une épopée mathématique. Publiée en 1963, elle s’étend sur 255 pages et remplit un numéro entier du Pacific Journal of Mathematics. Elle est considérée comme un point de départ de la classification des groupes finis simples.
La preuve est un immense raisonnement par l’absurde.
- Hypothèse par l’absurde : On suppose qu’il existe un groupe simple non abélien d’ordre impair, et on en choisit un d’ordre minimal, noté $G$.
- Analyse Locale : La première grande partie de la preuve consiste en une « analyse locale » de la structure de $G$. On étudie les normalisateurs des sous-groupes de Sylow de $G$. On montre que ces sous-groupes (qui sont des sous-groupes propres de $G$) sont résolubles (car $G$ est d’ordre minimal).
- Théorie des Caractères : La deuxième partie, et la plus longue, utilise de manière intensive la théorie des caractères, une branche de la théorie des représentations. La théorie des caractères associe des fonctions complexes (les caractères) aux éléments du groupe, ce qui permet de traduire des problèmes de structure de groupe en problèmes d’algèbre et d’analyse.
- Contradiction : En combinant l’analyse locale et la théorie des caractères, Feit et Thompson parviennent à déduire des propriétés contradictoires sur la structure de $G$. Par exemple, ils montrent que le groupe doit posséder certaines propriétés qui sont incompatibles entre elles. Cette contradiction finale prouve que l’hypothèse de départ (l’existence d’un tel groupe $G$) est fausse.
Implications et Importance
- Classification des Groupes Finis Simples : Ce théorème a eu un impact monumental. En montrant que la recherche de groupes simples non abéliens pouvait se limiter aux groupes d’ordre pair, il a considérablement réduit le champ de recherche et a lancé le programme de classification, qui s’est achevé au début du XXIe siècle.
- Développement de Techniques : La preuve a nécessité le développement de nouvelles techniques extrêmement puissantes en théorie des groupes, en particulier dans l’interaction entre l’analyse locale et la théorie des caractères, qui ont été utilisées par la suite pour classifier d’autres familles de groupes.
- Un Tour de Force : La longueur et la complexité de la preuve ont repoussé les limites de ce qui était considéré comme une démonstration mathématique acceptable à l’époque et ont marqué les esprits de toute la communauté mathématique.