Ce chapitre est entièrement dédié au **triangle rectangle**. Nous allons étudier la relation fondamentale entre les longueurs de ses côtés (Théorème de Pythagore) et le rapport entre ses côtés et ses angles aigus (Cosinus). Ces outils sont indispensables pour calculer des longueurs ou des angles inconnus.
I. Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle :
- L’**hypoténuse** est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le côté le plus long du triangle.
- Les deux autres côtés sont appelés les **côtés de l’angle droit** (ou **cathètes**).
Si un triangle $ABC$ est **rectangle en $A$**, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$Ce théorème permet de **calculer une longueur** si l’on connaît les deux autres.
Le théorème s’interprète comme une égalité d’aires : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Soit un triangle $DEF$ rectangle en $E$. On donne $DE = 5 \text{ cm}$ et $EF = 12 \text{ cm}$. Calculer la longueur de l’hypoténuse $[DF]$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, l’hypoténuse est $[DF]$.
D’après le Théorème de Pythagore :
$$ DF^2 = DE^2 + EF^2 $$ $$ DF^2 = 5^2 + 12^2 $$ $$ DF^2 = 25 + 144 $$ $$ DF^2 = 169 $$ $$ DF = \sqrt{169} = 13 $$La longueur de l’hypoténuse $[DF]$ est $13 \text{ cm}$.
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est **rectangle**.
Si $c^2 = a^2 + b^2$, alors le triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au côté de longueur $c$.
Cette propriété permet de **démontrer** qu’un triangle est rectangle.
II. Cosinus d’un Angle Aigu
Dans un **triangle rectangle**, le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur du **côté adjacent** à cet angle et la longueur de l’**hypoténuse**.
$$ \cos(\text{angle}) = \frac{\text{Longueur du côté adjacent}}{\text{Longueur de l’hypoténuse}} $$On rappelle que l’angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre $0^\circ$ et $90^\circ$.
- Le cosinus est un nombre **sans unité**.
- Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus est toujours compris entre $0$ et $1$. $$ 0 < \cos(\text{angle}) < 1 $$
- Le cosinus d’un angle ne dépend que de la mesure de cet angle, et non de la taille du triangle (c’est le principe des triangles semblables).
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :
- Quel est le côté adjacent à l’angle $\widehat{ABC}$ ?
- Quel est le côté adjacent à l’angle $\widehat{ACB}$ ?
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :
- Pour l’angle $\widehat{ABC}$ : $$ \cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{AB}{BC} $$
- Pour l’angle $\widehat{ACB}$ : $$ \cos(\widehat{ACB}) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{AC}{BC} $$
Ces formules permettent de **calculer l’angle** si l’on connaît les longueurs, ou de **calculer une longueur** si l’on connaît un angle et une autre longueur.
III. Exercices de Synthèse
Soit un triangle $KLM$ rectangle en $K$. On donne $KL = 4 \text{ cm}$ et $LM = 5 \text{ cm}$.
- Calculer la longueur du côté $[KM]$. (Pythagore)
- Calculer la valeur exacte puis arrondie au centième du cosinus de l’angle $\widehat{KLM}$.
- Déterminer, en utilisant votre calculatrice (fonction $\cos^{-1}$), la mesure de l’angle $\widehat{KLM}$ au degré près.
1. Calcul de $KM$ (Pythagore) :
L’hypoténuse est $[LM]$.
$$ LM^2 = KL^2 + KM^2 $$ $$ 5^2 = 4^2 + KM^2 $$ $$ 25 = 16 + KM^2 $$ $$ KM^2 = 25 – 16 = 9 $$ $$ KM = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} $$2. Calcul du cosinus de $\widehat{KLM}$ :
Dans le triangle $KLM$ rectangle en $K$ :
- Côté adjacent à $\widehat{KLM}$ : $[KL]$ ($4 \text{ cm}$).
- Hypoténuse : $[LM]$ ($5 \text{ cm}$).
Valeur exacte : $\frac{4}{5}$. Valeur décimale : $0,8$.
3. Détermination de la mesure de l’angle $\widehat{KLM}$ :
En utilisant la calculatrice ($ \cos^{-1}(0,8) $ ou $ \text{arccos}(0,8) $):
$$ \widehat{KLM} \approx 36,87^\circ $$Arrondi au degré près : $\widehat{KLM} \approx 37^\circ$.
Le théorème de Pythagore et le cosinus s’appliquent **UNIQUEMENT** aux **triangles rectangles**. Si le triangle n’est pas rectangle, ces formules ne sont pas valables.